10-4 函数项级数.ppt

3,一致收敛级数的性质 * * 称为定义在集合D上的函数项级数。 为函数项级数的和函数。 10-4 函数项级数 解： 注：该级数每一项都在实轴上连续， 例1： 考察如下函数项级数的收敛域与和函数。 这与有限个连续函数相加仍为连续函数不同。 结论 问题 1，函数序列与函数项级数的一致收敛性 为函数项序列的极限函数。即 如上收敛概念也称为逐点收敛，对于函数序列或函数级数而言，更重要的是如下一致收敛概念。 定义： x y o 几何解释: 命题1： 命题2： 定义： 即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。 2，函数项级数一致收敛的必要条件与判别法 定理1： 证： 例： 解： 定理2：（关于函数级数一致收敛的柯西准则） 定理3: (强级数判别法) 一致收敛性简便的判别法： 证： 由定理2即知,证明完成。 例5： 解： 由M判别法知所讨论级数在R上一致收敛。 强级数判别法只适用于判别绝对且一致收敛的级数，对非绝对收敛的级数并不适用，故还需要有判别非绝对收敛的级数是否一致收敛的判别法。为此引出如下概念。 定义： 例： 定理4（Dirichlet 判别法） 定理5（Abel 判别法） 例8： 证： 故由Abel 判别法，所证级数在给定区间一致收敛。 定理6(和函数的连续性） 证： (1) (2) 同样有 (3) 0 e $ 自然数 ) ( e N N = ，使得当 N n 时 , 对 [ ] b a , 上的一切 x 都有