数学物理方程 3Bessel 函数解析.ppt

3.证明特征函数系 关于权系数 的正交性。 设 ，则 分别满足如下方程 有 两式相减得 即 积分，得 关于权系数 的正交性。 关于权系数 的平方模。 。并取 使得 则有 4.求 记 和 令 （8）和（9）第一式分别具有下面的形式 同前 相减有 即 积分有 有 令 则有 得证。 注：根据递推公式 以及 可得 则Bessel函数平方模的其他形式有 定理3.4 设 在区间 分段连续且有分段连续的一阶导数 则在区间 上， 可按 展成如下的Fourier-Bessel级数 其中 例1：将1在 区间内展成 的级数形式 解：设 例2：将x在0x2区间内展成 的级数形式 解：设 例3：将 在0x1区间内展成 的级数形式 解：设 作业 P76 习题3 第十六题，第十七题 3.3 多个自变量分离变量法例子 例3.12 设圆柱体为 ，若其边界温度为0， 初始温度为 ，且 只与 求圆柱体内的温度分布 . 有关且有界 解 记 ，则u满足以下定解问题 由于初始条件只与 有关，边界条件为齐次边界条件， 故可推知 ,圆柱体内以z轴为中心的圆柱面上温度相同，即u只与 和t有关，而与z和 无关，故有 3.3.2圆柱体或圆域上定解问题 对定解问题(3.3.9)-(3.3.11),做自变量变换 并注意到u与 无关，直接计算可得 下面利用分离变量法求解问题(3.3.12)-(3.3.14)。 并代入到（3.3.12）中得 令 由此得 由该问题的物理意义可知函数u有界，从而|u(0,t)|有界。 由此可推出R应满足自然边界条件 结合边界条件（3.3.13）可得定解问题(3.3.12)-(3.3.14)的特征值问题为 （3.3.16）是贝塞尔方程特征值问题中n=0, 的特殊情形。由定理3.3可得 从而 在（3.3.17）中令t=0，并结合初始条件（3.3.14）得 其中 将 代入到（3.3.17）中得到定解问题(3.3.12)-(3.3.14)的解。 代入到 中并求解得 将 满足(3.3.18)-(3.3.19),并作函数代换 选 例3.13 求解如下定解问题 解: 方法一: 方程齐次化 将方程齐次化。 考虑如下定解问题 为简单起见，设 ，从而 上面的定解问题转化为 求解上式可得通解为 所以 由边界条件 可得 令 将原定解问题转化为 与例3.12相类似的方法求解。 按特征函数系展开 将 方法二：特征函数法直接求解 由例3.12可知定解问题的特征值和特征函数分别为 其中 令 ，将其代入(3.3.18)得 比较系数可得 结合初始条件可得 满足如下定解问题 其解为 将 代入 可得 例3.14:设有一半径为a高为h的圆柱体，其下底面和侧面电位为零，上底电位为 ，试求圆柱体内的电位分布。 解: 记 ，则u满足以下定解问题 作柱面坐标变换 ，则上面定解问题转化为 并代入到（3.3.32）中得 令 结合边界条件（3.3.35）可得定解问题(3.3.32)-(3.3.35)的特征值问题为 是贝塞尔方程特征值问题，其特征值和特征函数为 将 代入到(3.3.36)中并求解得 从而 由（3.3.33）得 其中 由（3.3.34）得 计算得 则得到原问题的解为 作业 P76 习题3 第十九题，第二十题 2. 贝塞尔函数的性质 4. 多个自变量的分离变量法 3. 贝塞尔方程的特征值问题 1. 贝塞尔方程，贝塞尔函数定义 贝塞尔函数 本章小结 * * 如果选取 ，则有 代入到 得到原方程的一个解 此函数称为r阶Bessel函数，通常记 如果 则由（4）式 可得 如果选取 ，则有 代入到 得到原方程的另一个解 此函数称为-r阶Bessel函数，通常记 注1 当r为正整数时，例如 ，取 对于 ，当 时 的系数等于零。 特别r=m(m为正整数)时，有 所以，对所有的实数r， 都有意义。 求解过程失效。 注2 记 表达式中幂级数部分的系数为 ，直接计算 可得 即 表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。 类似可证 表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。 因此， 中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。 注3 注意到 在x=0右连续而 在x=0的邻域无界， 故当r0不等于整数时， 是线性无关的，它们构成 原方程的一个基解组。 当r=m(m为正整数)时，直接计算可得 令 n阶第一类贝塞尔函数 1 r不为整数时，贝塞尔方程的通解 和 线性无关 n阶第二类贝塞尔函 数（Neumann函数） n为整数时 2 r为整数时，贝塞尔方程的通解 A、B为任意常数， n为任意正整数 作业 P76 习题3 第七题(1)第十三题(3)(4) 3.2.3 贝塞尔函数的性质 性质