(排队论模型.docVIP

如服从泊松分布,则在时间t内到达n的概率为 　　 n}，n=1，2，…所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。 如果按服务系统的以上三个特征的各种可能情形来对服务系统进行分类，那么分类就太多了。因此，现在已被广泛采用的是按顾客相继到达时间间隔的分布、服务时间的分布和服务台的个数进行分类。 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等。所以，必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是： 队长 指排队系统中的顾客数，它的期望值记为L系；排队长，指在排队系统中排队等待服务的顾客数，其期望值记为L队。 系统中的顾客数 = 等待服务的顾客数 + 正被服务的顾客数 所以L队（或L系）越大，说明服务效率越低。 逗留时间 指一个顾客在排队系统中的停留时间，即顾客从进入服务系统到服务完毕的整个时间。其期望值记为W系。等待时间，指一个顾客在排队系统中等待服务的时间，其期望值记为W队。 逗留时间 = 等待时间 + 服务时间 忙期 指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度，即服务机构连续工作的时间长度。它关系到服务员的工作长度，即服务机构连续工作的时间长度。它关系到服务员的工作强度、忙期的长度和一个忙期中平均完成服务的顾客数，这些都是衡量服务效率的指标。 要计算以上这些指标必须知道系统状态的概率，所谓系统状态即时刻t时排队系统中的顾客数。如果时刻t时排队系统中有n个顾客，就说系统的状态是n，其概率一般用Pn(t)表示。求Pn(t)的方法，首先要建立含Pn(t)关系式，因t为连续变量而n只取非负整数，所以建立的Pn(t)的关系式一般是微分差分方程，这时要求方程的解是不容易的，有时即使求出也很难利用。因此，往往只求稳态解Pn，求Pn并不一定求t→∞时的Pn(t)极限，而只需由=0，用Pn代替Pn(t)即可。 下面分析几个排队系统。 单通道等待制排队问题 对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形。分两种模型来分析： 标准模型 所谓标准模型是指顾客源为无限，顾客单个到来，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，到达过程是平稳的，排队为单队，队长没有限制，先到先服务，各顾客的服务时间服从负指数分布，且相互独立。同时还假定顾客到达的时间间隔和服务时间是相互对立的。可以证明，顾客相继到达的时间间隔独立且为负指数分布的充要条件是输入过程服从泊松分布。 首先求出排队系统在任意时刻t的、状态为n的概率Pn(t)，不妨假设顾客到达规律服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的负指数，由此决定了[t，t+△t]时间间隔内： 有1个顾客到达的概率为λ△t+o(△t)，没有顾客到达的概率是1-λ△t+o(△t)。 当有顾客在接受服务时，1个顾客被服务完了的概率是μ△t+o(△t)，没有服务完的概率是1-μ△t+o(△t)。 多于一个顾客到达或服务完的概率为o(△t)，均可忽略。 注1：因为单位时间内顾客到达数X～P（λ），所以Δt时间间隔内顾客到达数Y～ P（λΔt），因而在Δt时间间隔内有一个顾客到达的概率为：P{ Y=1 } =λΔt·e-λΔt=λΔt + o(Δt)，没有顾客到达的概率为P{Y=0}= e-λΔt=1-λΔt + o(Δt)。 注2：由于服务时间T～E（μ），故在有顾客接受服务时，一个顾客被服务完的概率为P{T≤Δt }=1 - e-μΔt=μΔt + o(Δt)，没有被服务完的概率为1 -μΔt + o(Δt)。 在t+△t时刻，系统中有n个顾客的状态由t时刻的以下状态转化而来：①t时刻系统中有n个顾客，没有顾客到达且没有顾客服务完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][ 1-μ△t+o(△t)]= (1-λ△t-μ△t)+o(△t)；②t时刻系统中有n+1个顾客，没有顾客到达且有一个顾客服务完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][μ△t+o(△t)]= μ△t+o(△t)；③t时刻系统中有n-1个顾客，有一个顾客到达且没有顾客服务完毕，其概率为：[λ△t+o(△t)][1-μ△t+o(△t)]= λ△t+o(△t)；④其他状态的概率为o(△t)。 因此，在t+△t时刻，系统中有n个顾客的概率Pn(t+△t)满足： Pn(t+△t)= Pn(t)(1-λ△t-μ△t)+ Pn+1(t)μ△t + Pn-1(t)λ△t+o(△t) [Pn(t+△t)- Pn(t)]/△t=λPn-1(t)+μPn+1(t)-(λ+μ)Pn(t)+o(△t)