能带理论[精选].doc

能带理论 能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。 一、三个近似 绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。 平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。 周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性。 原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即 其中 二、两个模型 （1）近自由电子模型 1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似） 2、怎样得到近自由电子模型 近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。 3、近自由电子近似的主要结果 存在能带和禁带： 在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 EK0 作为 k 的函数具有抛物线形式。由于周期势场的微扰，E（k）函数将在 处断开，本征能量发生突变，出现能量间隔2︱Vn︱，间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。周期势场的变化愈激烈，各傅里叶系数也愈大，能量间隔也将更宽，周期势场中电子的能级形成能带是能带论最基本和最重要的结果。 第一布里渊区 自由电子波矢 k 的取值范围是没有限制的而在周期势场中，则被严格的限制在第一 Brillouin 区内。但从能量角度看，可以将标志电子状态的波矢 k 分割为许多区域，在每个区域内电子能级 E(k)随波矢 k 准连续变化并形成一个能带，波矢 k 的这样一些区域就被称为 Brillouin 区，当波矢 k 被限制在第一Brillouin 区时， E(k) 就成为 k 的多值函数，为了区别，按其能量由低到高，分别标注为 E1(k) ,E2(k) E3(k), ……。有时也可以用周期布里渊区图式或扩展布里渊区图式绘出晶体中的能带。 从理论上解释了导体和绝缘体的区别 按照能带模型，晶体中每个原子的传导电子数就决定了晶体是导体还是绝缘体，如果每个原子提供两个传导电子，刚够填满第一能的所有状态，或每个原子提供四个传导电子，刚填满第一、二能带，鉴于能隙的存在，当电子受到外加势场作用时,就没有稍高的容许能态可以让它被激发而迁入，因此就没有电流流动，这种晶体就是绝缘体，除非外加势场大到足以激发电子使之跨过能隙而进入下一个能区的容许能态。相反，如果电子只是在某个能区填充了部分能态，就会如同自由电子那样，可以在势场作用下自由移动，成为导体。然而在真实晶体中，情况并不像上述模型那样简单，由于晶体是各向异性的，因此可能在某些方向上，矢量 kF 同能区边界重合，另外一些方向上不重合，于是，就可能有某些晶体的性质介于导体和绝缘体之间，比如半金属铋和锑。 （2）紧束缚模型： 1、模型概述 假定原子势很强，因此， 当一个电子在晶体中运动并被一个离子束缚住的时候，在它被释放或隧穿到另一个离子之前，将会停留相当长的时间，在受束缚期间，电子轨道主要是围绕单个离子，其态函数基本上是一个原子轨道，受其它原子的影响很小。该模型主要适合于晶体中原子间距较大时，或能带低而窄、壳层半径比晶格常数小得多的情况，这时的原子轨道只受到其它原子很微弱的作用，过渡金属中很重要的3d 紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子势作用，其它原子势作用弱