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线索 第二次数学危机 十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。 而这次的危机是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 一、危机的出现 17世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支——数学分析，或称微积分。 微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。 由无穷小量究竟是不是零的问题引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。 牛顿的“无穷小” 牛顿的「无穷小量」 无穷小量在牛顿的微积分中的主要运用。 无穷小量的数学推导过程在逻辑上自相矛盾。 也正因为他的逻辑上不严格，而遭到责难。 牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、天文学家和物理学家 。 微积分受到攻击与责难 十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严密化就是烦琐。 在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观的局面。 微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。 贝克莱的发难 贝克莱，18世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他对微积分强有力的批评，在数学界产生了最令人震撼的撞击。 1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本针对微积分基础的书——《分析学家》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。 贝克莱 1685年3月12日出生于爱尔兰基尔肯尼郡1753年1月14日卒于牛津。 他指责牛顿 “依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。 因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的鬼魂”。贝克莱的攻击真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。 这使得数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。 实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。” 危机的实质 第二次数学危机的实质是什么？是数学思想的不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。 第二次数学危机的实质是方法论的变革。 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。 二、危机的解决 进入19世纪，历史要求给微积分以严格的基础。 终于在数学家们的共同努力下，到19世纪末，分析的严格化问题得到了解决。 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。 到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学分析中。1816年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。 达朗贝尔（法） 波尔查诺 分析学的奠基人，公认是法国的多产的数学家柯西，柯西在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。 柯西 接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创造了精确的“ ”语言。 戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。分析有了严密的基础和完整的