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三角函数 基础知识要点 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式 1、任意角的概念 平面内的一条射线绕着端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫角，逆时针向旋转所形成的角叫正角；顺时针向旋转所形成的角叫负角。若射线没有旋转，则称所形成的角为零角。 2、(1)角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 (2)α、、2α之间的关系。 若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。 若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。 若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。 若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。 终边相同的角的集合为 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度，用符号rad表示 5、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为的 圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是 6、弧度制与角度制的换算公式：，，． 7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，． 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，． ，，. 9、三角函数值的符号：第一象限角，三个三角函数的值都取正；第二象限角，为正，其余为负；第三象限角，为正，其余为负；第四象限角，为正，其余为负。 10、三角函数线：，，． 11、三角函数的基本关系：． 12、函数的诱导公式： ，，． ，，． ，，． ，，． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ，．，． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 例题精讲 题型1：象限角 例1．已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；（2）集合，那么两集合的关系是什么？ 解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：， 则令 ， 得 解得 从而或 代回或 （2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。 点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论。 例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 解析：答案：B；sinθcosθ＞0，sinθ、cosθ同号。 当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B。 例3．若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 解析：A、B是锐角三角形的两个内角，A＋B＞90°，B＞90°－A，cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B。 例4．已知“是第三象限角，则是第几象限角? 解法一：因为是第三象限角，所以， ， 当k=3m（mZ）时，为第一象限角； 当k= 3m＋1（mZ）时，为第三象限角， 当k= 3m＋2（mZ）时，为第四象限角， 故为第一、三、四象限角。 解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、、、，并依次循环一周，则原来是第象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。 由图可知，是第一、三、四象限角。 点评：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、、、，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (nN*)的终边所在的区域。 题型2：三角函数定义 例5．已知角的终边过点，求的四个三角函数值。 解析：因为过点，所以，。 当； ，。 当，；。 例6．已知角的终边上一点，且，求的值。 解析：由题设知，，所以， 得， 从而， 解得或。 当时，， ； 当时，， ； 当时，， 。 题型3：诱导公式 例7． tan300°+的值是（ ） A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 解析：答案：B tan300°＋＝tan(360°－60°)＋＝－tan60°＋＝1－。 例8．化简： （1）； （2）。 解析：（1）原式； （2）