培优专题15_三角形总复习(含答案)解析.docVIP

讲义 三角形专题训练 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 求证： 2. 三角形三边关系的应用 例2. 已知：如图2，在中，，AM是BC边的中线。 求证： 3. 角平分线定理的应用 例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 求证：AM平分DAB。 4. 全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题 例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。 （2）“全等三角形”在综合题中的应用 例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。 5、中考点拨 例6. 如图，在中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6、题型展示 例7. 已知：如图6，中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，。 求证：BD平分∠ABC 例8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？ 【实战模拟】 3. 如图所示，D是的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。 4. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。 求证：∠AMB＝∠CMD 5. 设三个正数a、b、c满足，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长。 【试题答案】 1. 5cm 2. 45° 3. 分析：如图所示，∠BAC是的外角，所以 因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2 又因为∠2是的外角，所以∠2＞∠B，问题得证。 答：∠BAC＞∠B ∵∠CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2 ∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B 4. 证明一：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F 又∠BAC＝∠ACF＝90° AC＝AB 又AM＝MC，∴MC＝CF 又∠3＝∠4＝45°，CD＝CD 证明二：过点A作AN平分∠BAC交BM于N 又AN平分∠BAC 又AB＝AC 又 AM＝CM 1.证明：由AD⊥BC于D，可得∠CAD＝∠ABC 又 则 可证 即 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。 2.证明：延长AM到D，使MD＝AM，连接BD 在和中， 在中，，而 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。 3.证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD ∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC＝MB，∴MG＝MB 而MG⊥AD，MB⊥AB ∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM平分∠ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 分析：欲证的周长等于2，需证明它等于等边的两边的长，只需证。采用旋转构造全等的方法来解决。 证明：以点D为旋转中心，将顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在M点的位置。