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金版教程高考数学文二轮复习讲义:第二编专题整合突破专题八系列4选讲第一讲(选修4-4)坐标系与参数方程Word版含解析
专题八 系列4选讲 第一讲 (选修4-4)坐标系与参数方程 必记公式] 直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则 重要结论] 1.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 当圆心位于极点,半径为r:ρ=r; 当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acosθ; 当圆心位于M,半径为a:ρ=2asinθ. 2.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0; 直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a; 直线过M且平行于极轴:ρsinθ=b. 3.几种常见曲线的参数方程 (1)圆 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数. 当圆心在(0,0)时,方程为其中α是参数. (2)椭圆 椭圆+=1(ab0)的参数方程是其中φ是参数. 椭圆+=1(ab0)的参数方程是其中φ是参数. (3)直线 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数. 4.直线参数方程中参数t的几何意义 过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数). 通常称为直线l的参数方程的“标准式”.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|. 当0απ时,sinα0,所以,直线l的单位方向向量e的方向总是向上.此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合,即当点M在M0上方时,有t=||;当点M在M0下方时,有t=-||. 失分警示] 1.极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅是要把其中的参数消去,还要注意其中的x、y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 考点 极坐标方程及其应用 典例示法 典例1 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π). 解] (1)将消去参数t, 化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将 代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. (2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0. 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,. 解决极坐标系问题的策略 (1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程,则可以统一转化到直角坐标系中,利用直角坐标系的定理、公式解题. (2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂,不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显,比如已知两个点的极坐标,求两个点间的距离,则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离. 针对训练 2016·衡阳联考]在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a0),l:ρcos=,C与l有且仅有一个公共点. (1)求a; (2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且AOB=,求|OA|+|OB|的最大值. 解 (1)曲线C:ρ=2acosθ(a0),变形ρ2=2ρacosθ, 化为x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2. 曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆; 由l:ρcos=,展开为ρcosθ+ρsinθ=, l的直角坐标方程为x+y-3=0. 由题可知直线l与圆C相切,即=a,解得a=1. (2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+, 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos=3cosθ-sinθ =2cos, 当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2. 考点 参数方程及其应用 典例示法 典例2 2014·全国卷]已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数). 直线
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