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第76课 二项式定理 ●考试目标 主词填空 1.二项式定理： (a+b)n=. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式. 2.二项式展开式的通项. (a+b)n展开式中的第r+1项Tr+1=称为二项展开式的通项公式，它表示展开式的第r+1项. 3.二项展开式的中间项二项式系数最大.当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，这项是第项，它的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等并且最大，这两项是第项和第+1项，它们的二项式系数最大. 4.系数和. (a+b)n= 令a=1,b=1,则有 令a=1,b=-1，则有， 即.由此可得：①二项式系数和为2n；②各奇数项二项式系数和等于各偶数项二项式系数和，都等于2n-1． ●题型示例 点津归纳 【例1】 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 ( ) A.160 B.240 C.360 D.800 【解前点津】 本题有三种解法：一是化为二项式问题来解；二是分解因式后，利用二项展开式知识来解；三是考虑其展开式中符合条件的项的系数，分析求解. 解法一 ：(x2+3x+2)5=［(x2+3x)+2］5 则 Tk+１=(x2+3x)5-k·2k， 再一次使用通项公式，有 Tr+1=·2k··3r·x10-2k-r， 其中0≤k≤5,0≤r≤5-k, 令10-2k-r=1,即 2k+r=9. ∴r=1,k=4,即x的系数为·24·3=240. 故选B． 解法二：由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5， 得含x的一次项系数为=240. 故选B． 解法三：(x2+3x+2)5是5个三项式相乘，从其中一个取3x,从另外4个三项式中取常数项相乘，即得含x的一次项系数为 故选B． 【规范解答】 B 【解后归纳】 本题考查二项式定理、二项展开式的性质及有关知识，以及将三项式转化为二项式，即等价转化的思想方法. 【例2】 求(1+x+x2)7(1-x)8展开式中x10的系数. 【解前点津】 注意到(1+x+x2)(1-x)=1-x3，故可先化简再求解. 【规范解答】 ∵(1+x+x2)7(1-x)8=(1-x3)7(1-x). 由于(1-x)中只有常数项和一次项，只需求(1-x3)7展开式中x9与x10的系数. 设(1-x3)7展开式中的x9的项为第r+1项(因不含x10)，则 Tr+1=， 令3r=9,∴r=3. 故展开式中含x10的项的系数为： 【解后归纳】 本题考查比较复杂的三项式、三项式与二项式的积展开式的特定项的系数的求法. 【例3】 求展开式中有多少项是有理项. 【解前点津】 有理项应不含根式，即x的指数是整数. 【规范解答】 设展开式中的有理项为第r+1项. Tr+1= (其中0≤r≤100). 易知r=6k(k=0,1,2,…，16) ∴展开式中有17项是有理项. 【解后归纳】 本题考查求二项展开式的有理项的项数的解题方法. 【例4】 用二项式定理证明:32n+3-24n+37能被64整除(n∈N). 【解前点津】 把已知式化成64的整数倍. 【规范解答】 证明: 32n+3-24n+37=9n33-24n+37=(8+1)n33-24n+37 =()33-24n+37 =()8233+(27+216n)-24n+37 =82［()×33+3n+1］. 因此32n+3-24n+37能被64整除. 【解后归纳】 欲证f (n)能被a整除,一般手法如下:若f (n)本身或它的一部分可表示bn形式,应首先将b改写成k·am+r (k、m∈Z,且r=0,±1,±2等,但|r|越接近0越好)形式，然后利用二项式定理将(k·am+r) n展开代入f (n)中,一般只需经简单的代数变换便能到欲证目的. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.展开式中有理项的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.ab0,a+b=1,(a+b)9展开按a的降幂排列后第二项不大于第三项,则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(1,+∞) 3.已知(a+b)n展开式中各项的二项式系数之和为8 192, 则(a+b)n的展开式中项数共有 ( ) A.14 B.13 C.12 D.15 4.在的展开式中含常数项，则自然数n的最小值是 ( )  A.2 B.3 C.4 D.5 5.设(+x)10=a0+a1x+a2x2+…