合肥工业大学最优控制课程讲解.ppt

最优控制理论 1-2 最优控制问题的实例 1-3最优控制问题的提法 1-4最优控制的应用类型 第二章 数 学 准 备 2-1函数极值问题 2-2泛函极值问题 一.无条件约束的泛函极值问题 1：始端时刻t0和终端时刻tf都给定时的泛函极值 例1 2：未给定终端时刻的泛函极值问题 例2 3：向量函数泛函极值问题 二．有约束条件的泛函极值问题 第三章 用变分法求解最优控制问题 一.初始时刻 及始端状态 给定, 给定,终端自由 例 1 二. 初始时刻 及始端状态 给定, 给定,终端约束. 三. 初始时刻 及始端状态 给定, 自由,终端约束 用变分法求解最优解的必要条件 例2 例3 例 4 例 5 例6 第四章 极小值原理及其应用 4-1.连续时间系统的极小值原理 定理:(极小值原理) 例1 4-2离散系统极小值原理 例 2 4-3极小值原理的应用 1：最小时间控制(时间最优控制) 例 3 2:最小燃料消耗控制 例 4 3:最小能量控制 例 5 第5章 线性二次型问题的最优控制 5-1 线性连续系统状态调节器 1:有限时间状态调节器 引理5-1 定理 5-4 例5-1 例5-2 例5-3 2:无限时间状态调节器 例5-4 例5-5 5-2 线性离散系统状态调节器 例5-6 5-3线性连续系统输出调节器 1：有限时间时变输出调节器 2 ：无限时间定常输出调节器 例5-7 例5-8 5-4 线性连续系统输出跟踪器 1：线性时变系统的跟踪问题 例5-9 例5-10 2 ：线性定常系统的跟踪问题 例5-11 第6章 动态规划法 6-1最短路线问题 6-2 离散最优控制问题 例6-1 6.3 连续动态规划 例6-3 设线性时变系统为 其中 控制u(t)不受约束，时变矩阵A(t)、B(t)、C(t)具有适当的维数，且在[t0，tf]上连续、有界,，矩阵对(A，C)完全能观。 所谓跟踪问题就是寻找最优控制，使系统的实际输出y(t)在给定的时间区间[t0，tf]上尽可能地逼近理想输出z(t),而又不过多地消耗能量。 定义误差向量为 性能指标为 其中P、 Q(t)为半正定对称矩阵， R(t)为正定对称矩阵。 已知一阶系统的状态方程为： 二次型性能指标为： 求使系统性能指标J为最小值使的最优控制u*(t)。 解 最优控制 其中K(t)为黎卡提方程 的解 最优线性反馈系统结构图 + _ + _ 二阶系统状态方程为 二次型性能指标为 试求使系统性能指标J为最小的最优控制u*(t) 解 最优控制为 因为k(t)为对称矩阵，设 K(t)满足黎卡提方程 整理得 解此微分方程得K(t)，代入u*(t)表达式，可得最优控制。显然，由于微分方程组的非线性性，不能求得其解析解，而只能利用计算机求得其数值解。 设系统状态方程和初始条件为： 终端时刻tf 为某一给定值。求最优控制u*(t)使下列性能指标为最小， 解 设 代入黎卡提方程 由终端边界条件 利用计算机逆时间方向解上述微分方程，解出从t=0到t=tf 的K(t)，可得最优控制： 设线性定常系统状态方程为 [A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为 其中Q，R为常数矩阵 要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。 与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的； 希望最优控制系统是定常的。 3）终值权矩阵P=0 4）要求受控系统完全能控，以保证最优控制系统的稳定性 终值性能指标将失去工程意义 如果系统不可控 性能指标就有可能趋于无穷大，无法比较控制的优劣，也就无法确定最优控制。 结果如下 当 矩阵对（A，B）完全能控时，存在唯一的最优控制： 其中 为n×n常值正定对称阵，它满足黎卡提代数方程： 一般情况下，需要用数值方法求解。 闭环最优控制的状态方程为： 解此方程可得最优轨线x*(t)，性能指标的最小值为： 上述最优控制系统并不一定是稳定的，只有矩阵 的所有特征值都具有负实部时，系统才是稳定的，可能反复计算多次 [选Q求 可以证明，若DDT=Q，（A，D）能观测，则对于对称非负定加权矩阵Q，当（A，B）能控时，可以保证最优控制u*(t)的存在性和唯一性，且闭环最优控制系统是稳定的。 若 为正定对称阵，则闭环最优系统是稳定的。 考虑下列可控系统 性能指标 求最优控制u(t)使性能指标J为最小。 解 由于 则Q为正定阵。 设 可由