(微积分基本定理与应用试题.docVIP

《微积分》讲义 第一章 极限 一、函数极限的概念：f＝A 　　要点：⑴ x 为变量；⑵ A 为一常量。 二、函数极限存在的充分必要条件： 　　f＝A f＝A， f＝A 　　例：判定 是否存在？ 三、极限的四则运算法则 　　⑴ ＝f± g 　　⑵ ＝f · g 　　⑶ ＝ …… g≠0 　　⑷ k·f＝k· f 四、例： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 五、两个重要极限 ⑴ ＝1 ＝1 ⑵ ＝e ＝e ……… 型 理论依据： ⑴ 两边夹法则：若f≤g≤h，且 limf＝limh＝A， 　　　　　　　则：limg＝A ⑵ 单调有界数列必有极限。 例题： ⑴ ＝ ⑵ ＝ ⑶ ＝ ⑷ ＝ ⑸ ＝ 六、无穷小量及其比较 1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。 2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。 3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。 4、定理： f＝A f＝A＋a （ a＝0） 七、函数的连续性 1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量 　　　　x： ⑴ x0时，y0。即： y＝0 ⑵ f＝f ⑶ 左连续： f＝f 右连续： f＝f 2、函数y＝f在区间上连续。 3、连续函数的性质： ⑴ 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、 　　（g()≠0）在点处连续。 ⑵ 若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续， 　　则复合函数 f(j(x)) 在点处连续。 例： ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ 4、函数的间断点： 　⑴ 可去间断点： f＝A，但 f 不存在。 　⑵ 跳跃间断点： f＝A ， f＝B，但 A≠B。 　⑶ 无穷间断点：函数在此区间上没有定义。 5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则： 　⑴ f在闭区间上必有最大值和最小值。 　⑵ 若 f与 f异号，则方程 f＝0 在内至少有一根。 　例：证明方程式 －4＋1＝0在区间内至少有一个根。 第二章 一元函数微分学 一、导数 1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f 　　　　＝A f＝A …… y，，。 2、函数y＝f在区间上可导的定义： f， y，，。 3、基本初等函数的导数公式： 　⑴ ＝0 　⑵ ＝n· 　⑶ ＝，＝ 　⑷ ＝·lnɑ，＝ 　⑸ ＝cosx， ＝－sinx 　　　＝x， ＝－ 　　　＝secx·tanx， ＝－cscx·cotx 　⑹ ＝－ 　　　＝－ 4、导数的运算： 　⑴、四则运算法则： 　　　＝± 　　　＝·g(x)＋f(x)· 　　　＝ 例：求下列函数的导数 　　y＝2－5＋3x－7 　　f(x)＝＋4cosx－sin 　　y＝ 　⑵、复合函数的求导法则： 　　yu，uv，vw，wx yx 　　＝ 　例：y＝lntanx 　　　y＝ln 　　　y＝arcsin 　⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的 　　　式子，先对y求导，然后y再对x求导。 　例1：设方程 xy－＋＝0 确的隐函数 y＝y(x)，求； 　例2、求方程式 ＋2y－x－3＝0 所确定的隐函数在x＝0处的导数； 5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。 　例1：问曲线 y＝上哪点处的切线与直线 y＝3x－1 平行？ 　例2：求曲线 ＋＝5在点处的切线方程。 6、函数的可导性与连续性的关系： 　　可导必连续，但连续不一定可导。 7、高阶导数：y，y，，… 　　例：求 y＝sin5x的三阶导数。 二、微分 1、微分的概念：df(x)＝f(x)·dx … df(x)＝f(x)·x 　例：求函数 y＝ 当 x＝2，x＝0.02 时的微分。 2、微分的几何意义：y 的近似值。 3、基本微分法则： ⑴ d(u±v)＝du±dv ⑵ d(u·v)＝u·dv＋v·du ⑶ d(ku)＝k·d(u) ⑷ d＝ 例1、y＝sinx，求 dy； 例2、y＝ln，求dy； 4、微分在近似计算中的应用 　ydy f(＋x)－f()＝f()·x 　　 f(＋x)＝f()·x＋f() 　例：求 的近似值。 三、导数的应用 1、中值定理 ⑴ 罗尔定理： ⑵ 拉格朗日定理： ⑶ 柯西定理： 2