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大连理工大学2004至2005学年第二学期数值逼近期末考试试题C 大 连 理 工 大 学 授课院?(系)：???数学系??考试日期：2005年2?月?28日 ? 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 标准分 18 18 10 8 10 10 8 8 10 100 得??分 一、填空（18分） （1）???????[a,b]n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为（??????）。 （2）???????f（x）C[0,1],则它的n次Bernstein?多项式为 （????????????????????????????）。 （3）???????f(x)?C[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为(??????????????????????????????). （4）???????n????）。 （5）???????则的一组基底为（???????），其中表示以为节点的n次样条函数的全体。 （6）??????? 二、????判断题?（18分）（正确的√，错误的×） （1）???????n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。（??）。 （2）???????[ab]上的两个直交多项式和没有公共的根（????）。 （3）???????中的一个多项式p(x)成为C[a,b]中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在[a,b]上的偏离点的个数不少于n+2（???????????????）。 （4）???????Simpson3（?????????）。 （5）???????f（x）C[a,b]，是其n次最佳平方逼近多项式，则（??????????）。 （6）???????nChebysheff(切比雪夫)多项式在[-1，1]上恰有n个极大值点。（??????????????）。 三、（10分）叙述并证明Wereistrass第一定理。 Weierstrass第一定理：设，那么对于任意给定的，都存在这样的多项式，使得 四、（8分）求在[0，1]上的一次平方逼近多项式。 五、?（10分）确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使求积公式的代数精度最高。（求积系数只需给出公式即可） 六、（10分）求f（x）=在[0，1]上的一次最佳逼近多项式。 七、（8分）设，试求以-1，0，1，-2为插值节点的三次插值多项式。 八、（8分）设是且比雪夫多项式的零点，则对任意一个次数低于n的多项式?有恒等式?? 成立 大连理工大学2004-2005学年第二学期数值逼近期末考试试题C答案 一、填空（18分） （1）???????[a,b]n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为（??2n+1??）。 （2）???????f（x）C[0,1],则它的n次Bernstein?多项式为 （??????）。 （3）???????f(x)?C[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为(?????????). （4）???????n????n????）。 （5）???????则的一组基底为（?），其中表示以为节点的n次样条函数的全体。 （6）??????????为控制点?）。 二、????判断题?（18分）（正确的√，错误的×） （1）???????n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。（??√??）。 （2）???????[ab]上的两个直交多项式和没有公共的根（????√????）。 （3）???????中的一个多项式p(x)成为C[a,b]中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在[a,b]上的偏离点的个数不少于n+2（?????×??????????????）。 （4）???????Simpson3（??????√?????）。 （5）???????f（x）C[a,b]，是其n次最佳平方逼近多项式，则（??√?????????）。 （6）???????nChebysheff(切比雪夫)多项式在[-1，1]上恰有n个极大值点。（??????????×??????）。 三、（10分）叙述并证明Wereistrass第一定理。 Weierstrass第一定理：设，那么对于任意给定的，都存在这样的多项式，使得 证明：构造的n次Bernstein多项式 为了证明Wereistrass第一定理，需要用到一个恒等式： = 由于 可知 左端= ???????? ?? =右端 ?令 一致连续，所以有 ，，， 有??，所以 ???（令） 由，得到， 所以上式 随着n的无限增大，上式趋于0，这就证明了多项