([第6章课后题.docVIP

第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 1．令是一个数域，在里计算 （i） （ii） 2．证明：如果 ， 那么a = b = c = 0． 3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得 4．令1 =，2 =，3 =.证明，中每一个向量 可以唯一地表示为 形式，这里. 5．证明，在数域上向量空间里，以下算律成立： （i）a () = a- a； (ii) (a- b) = a- b, 这里a，b F ，,V． 6．证明：数域上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量． 7．证明，对于任意正整数和任意向量，都有 =+…+． 8．证明，向量空间定义中条件3o，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式： （1，…，n）() =（（1，…，n））． §6.2　子空间 1．判断R n中下列子集哪些是子空间： (i){（a1，0，…，0，an）| a1，an R}； (ii){（a1 ，a2 ，…，an ）| ai =0}； (iii){（a1 ，a2 ，…，an ）| ai =1}； (iv){（a1 ，a2 ，…，an ）| ai ，i = 1，…，}. 2．表示数域上一切阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令 S={ A | }， T={ A | }． 证明，S和T都是 的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S T={0}． 3．设，是向量空间的子空间，证明：如果的一个子空间既包含又包含，那么它一定包+．在这个意义下，+是的既含又含的最小子空间． 4．设V是一个向量空间，且V{0}．证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集． 5．设W，，都是向量空间V的子空间，其中且W=W， W +=W + .证明：． 6．设，是数域上向量空间的两个子空间，,是的两个向量，其中W2，但 ，又 证明： (i)对于任意kF, +k ； (ii)至多有一个kF，使得+k ． 7．设，，…，Wr 是向量空间的子空间，且,. 证明：存在一个向量V，使得, . [提示：对作数学归纳法并且利用第6题的结果．] §6.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）； (ii)（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）； (iii)（2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）． 2．证明，在一个向量组{}里，如果有两个向量与成比例，即=k，，那么{}线性相关． 3．令。证明线性相关必要且只要行列式 = 0． 4．设，线性无关．对每一个任意添上p个数，得到的m个向量． 证明{1 ，2 ，…，m}也线性无关 5．设线性无关，证明也线性无关． 6．设向量组{} (线性无关，任取．证明，向量组线性无关． 7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当，那么线性无关． (ii) 如果线性无关，而不能由线性表示，那么，也线性无关． (iii) 如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合． (iv) 如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合． 8．设向量可以由表示，但不能由线性表示．证明，向量组{}与向量组{，}等价． 9．设向量组中并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合．证明线性无关． 10．设向量线性无关，而，，线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组{，}与{，}等价． §6.4 基和维数 1．令Fn [x]表示数域F上一切次数n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 [x]的基： (i){x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}； (ii){x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}. 2．求下列子空间的维数： （i）( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）)R3 (ii) (x-1，1-x2，x2-x) F[x]； (iii) (ex，e2x，e3x) C [a，b]. 3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基． 4．令S是数域上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数． 5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？ 6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间的每一个向量都可以唯一地表成中向量 的线性组合，那么dimV = n. 7．设W是R n 的一个非零子空间，而对于的每一个向量（a1，a2，…，an）来说，要么a1 = a2= … = an = 0，