摸球模型的计算.docVIP

对摸球模型计算问题的总结 摸球模型是指从n个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回，是否记序等）一个个地从中取出m个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率。一般来说，根据摸球方式的不同，可分四种情况讨论，得到四种不同的样本空间： 表1.4-1 从n个球中摸取m个球 摸球方式 不同摸法总数 有放回 计序 不计序 = 无放回 计序 不计序 其中 =表示从n个不同元素中取m个元素进行元素可重复的组合时，其不同的组合个数。例如3种不同溶液，不使它们混合，倒入五个烧杯中，共有多少种倒法？溶液只有三种，烧杯却有5个，所以至少有一种溶液要重复使用。这是一个从3个向议员肃立每次去除允许重复的5个元素的组合问题。因 =，故共有21种方法倒入。 有放回摸球是指每次摸出的球，在摸下一次前要放回袋内，因而每次摸球均在全体球中进行，这样各个球都有可能被多次摸到，统一球重复出现便是有放回摸球的特点，这时计算这一样本空间的基本事件的总数就必须按相异元素允许重复的排列或组合公式计算。 一、有放回且计序摸球 如果摸球是从n个可分辨的球按照有放回且计序的方式一个个地从中取出m个，这时样本空间的基本事件总数应按相异元素允许重复排列公式计算，因而为个。 解答重复排列问题，要注意以下几点： 首先，要明确所给的问题是不是重复排列问题。 如果在题中以指明，则可依题求解；如果没直接给明，则须根据问题的性质判定。 例1有一袋内装有编号为1——5的5个球，从袋内放回且按序任取3个球，问3个球编号组成奇数的概率？ 解 设A={3个球编号组成奇数} 基本事件总数= A所含基本事件数= 故 （1）有2个人，入坐3个座位，有几种做法？ （2）有两封信投入3个信箱，有几种投信方法？ 解 （1）在入坐问题中，一个人不能同时坐两个座位，一个座位也不能同时坐两个人，故该问题不属于重复排列问题，可归结为从3个相异元素中每次取2个的选排列问题，故坐法为。 （2）在投信问题中，虽然一封信不能同时投入两个信箱，但一个信箱却可以同时接收几封信，所以这是个相异元素允许重复的排列问题。2封信分别可投入3个信箱中的任一个，各有三种投法，依乘法原理，不同的投信方法共有=9种。 其次，要正确区分何者为底数n，何者为底数m。 对于不允许重复的排列问题，有的条件比较易区分，对于允许重复的排列问题已无的限制，需要仔细辨认，才能正确区分何者是底数n，何者是底数m。先看下述例子。 例3 0，，1，2，---，９这十个数字能够成多少个六位数的电话号码（首位可排０）？ 解 ６位数的每个位置上必须有一个确定的数字（元素），至于每个数字是否均有位置则不做要求，故指数m=6,底数n=10,电话号码的个数为=。 上例中“重复”的含义是一个排列中出现相同元素，如121，228733等。 由上面数例可归结出在重复排列中何者为m,何者为n的规律:必须要安排位置的元素的个数或必须要分配元素的位置的个数均为指数m，而位置的个数或元素的个数分别为其相应的底数n. 例4 有一袋子内装编号为1——5的5个球，从袋内有放回任取3个球，问3个球的编号组成奇数的概率多少？ 解 设A表示3个球编号组成级数的事件。因必须给出3个球（元素）中每个球的编号（位置），故重排列个数 中的指数m=3，而号码共有5个，故底数n=5,因而其基本事件总数为=（个）。 因有放回任取3个球时，第一个球可从5个球中任选，有5种可能；第二个球仍可从5个球中任选，也有5种可能。但由于三个球编号要组成奇数，第三个球只能从编号为1，3，5的这3个球中选取，共有种可能，这样事件A所含基本事件总数为×3，所以 P(A)= ×3/=3/5=0.6。 有放回但不计序摸球 从n各相异元素每次取出允许重复使用的m个元素，不及次序并成一组，叫做从n个相异元素允许重复的m元组合，其所有组合的个数为 = 有放回但不按序摸球问题，常按上式求出样本空间的基本事件总数。 例5装颜色分别为红、白、黑的各球，又放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率是多少？ 解 设A表示从匣内有放回不按序选取2个不同颜色的球的事件，由题设可知，样本空间的基本事件的总数为 事件A所含基本事件数为，故所求概率为 P(A)=/=/=1/2。 事实上，如用1，2，3分别代表红、白、黑球，则从3个相异数字里，每次取出允许重复的2个数字的组合的所有个数为 11，12，13，22，23，33． 显然两个不同数字组成的组合一共有3个，因而有 P（A）=3/6=1/2. 下面讨