(MATLAB的线性代数计算.docVIP

第二章 MATLAB的线性代数计算 本章先介绍用MATLAB解线性方程组的方法, 应用此方法, 说明线性代数中有关线性组合,线性相依,线性独立的概念与判断. 另外也讨论并估计线性方程组近似值解之正确度. 最后说明LU-Factorization与 Choleski-Decomposition 及其应用. 【当两个矩阵（Ａ，Ｂ）同阶时，此时这两个矩阵可以进行点乘运算，点乘运算是把这两个矩阵位置对应的元素进行相乘，然后得到一个新的与Ａ，Ｂ同阶的矩阵Ｃ　（Ｃ（ｉ，ｊ）＝　Ａ（ｉ，ｊ）＊Ｂ（ｉ，ｊ）　）．　（矩阵的点除（．／）与点乘（．＊）类似．）． 矩阵的乘法（＊），是按照通常的矩阵乘法进行运算，两个矩阵进行乘法（如Ａ＊Ｂ）的前提：Ａ的列数与Ｂ的行数相等．　两个矩阵相乘时不可以随便交换顺序． 可以运行几个例子看下结果: A=[3 4? 5;2 3 4]A =???? 3???? 4???? 5???? 2???? 3???? 4 B=[3 4 5;5 4 3]B =???? 3???? 4???? 5???? 5???? 4???? 3 C=A*B??? Error using == mtimes Inner matrix dimensions must agree. -----(不能进行运算,因为这是矩阵相乘,必须满足M×N与N×Y的矩阵才能相乘,这里A是2×3,B也是2×3的矩阵,所以不能进行矩阵相乘.) D=A.*BD =???? 9??? 16??? 25??? 10??? 12??? 12 ? ----(从结果中可以看出, .*就是将相同阶数的矩阵相应的元素相乘, 除法与此类似.) ? 然后还有左除(\)和右除(/)的区别: A*X=B的解为?????X=A\B(左除)????????????????????????? X*B=A的解为??? X=A/B(右除)? (一) 解线性方程组 Ax= b (1) 矩阵 A 是一个 upper triangular matrix, 主对角线上的元素不为零 A=[4 -1 3;0 2 5;0 0 8]; b=[1 0 2]; n=3; X=zeros(n,1); % 给初始值 X=[0 0 0] for j=n:-1:1 % 利用loop来执行Backward Subsitution X(j)=(b(j)-A(j,: )*X)/A(j,j); end, X X = -0.0938 -0.6250 0.2500  (2) 矩阵 A 是一般矩阵, 而且是 nonsingular matrix 则利用 Gaussian Elimination Algorithm采用 maximum column pivot 将其化为 triangular matrix, 以求解 A=[2 2 -3;3 1 -2;6 8 0]; b=[2 2 30]; w=[A b]; % 建一扩增矩阵(augmented matrix) p=[1 2 3]; % 初始的 pivot vector pivot=w(3,1); % 选定第一个 pivot element p=[3 2 1]; % 更新后的 pivot vector w(1,:)=(-w(1,1)/pivot)*w(3,:)+w(1,:) % 使(1,1)entry为0 w = 0 -0.6667 -3.0000 -8.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 2.0000 6.0000 8.0000 0 30.0000 w(2,:)=(-w(2,1)/pivot)*w(3,:)+w(2,:) % 使(2,1)entry为0 w = 0 -0.6667 -3.0000 -8.0000 0 -3.0000 -2.0000 -13.0000 6.0000 8.0000 0 30.0000 pivot=w(2,2);