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§3.4　两个重要的极限 教学章节：第三章 函数极限——§3.4　两个重要的极限 教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用. 教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用. 教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 教学过程： 一 、关于函数极限的性质 质1－性质4常用于说明函数极限的一些性质. 例1 设，，证明：. 例2 设，. （1）若在某内有，问是否有？为什么？（2）证明：若，则在某内有. 质5－性质6（迫敛性、四则运算）常用于计算. P51： 1、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2、. 例　. 二 、关于归结原则(Heine定理) (一) 定理的内容 (二)定理的意义 (三) 定理的用途 明极限不存在，如的极限不存在； 用数列极限的性质证明函数极限的性质. (1) 证明函数极限的唯一性. (2) 证明函数极限四则运算. (3) 证明单调有界定理. 用函数极限求数列极限. (1) . (2) . 结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用. 三、关于单调有界定理 (一) 内容. (二) 意义. 四、关于Cauchy准则 (一) 内容 (二) 意义 (三) 用途 明存在； 明不存在.如. 证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则. §3.4　两个重要的极限 一、　的证明 在单位圆盘上，是圆心角，以弧度计，即它恰好等于, 而 是弦长之半，它的几何意义是 ， 即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1. 证明 设, 面积扇形面积面积，即 ， , 用偶函数性质，这不等式在时也成立. 令 , , 两边夹得出 . 推论 ，，等号成立当且仅当. 证明 时, , 当 显然成立，而时等号成立，且只有时等号成立. 二、　的应用 例1 求. 解 ，令，则时；故有. 例2 求. 解 令，则 ；且当时， 故 . 例3 求（）. 证明 当时 ； 当时原式. 注 利用归结原则，可求数列极限.如求，直接利用是不严格的；但已知，故取，则，从而由归结原则. 三、证明或. 证明 先证情况，当时，有 . ， 所以 . 再证情况, 令， 由极限与单侧极限关系定理，得 . 推论 . 证明 令, 即得. 四、应用 例1 求. 解 令，则；且当时（时）， 因此，. 例2 求. 解 令，则当时， 因此， 例3 求. 解 ， 故原式. 也可利用以下结论：，，则， . 例4 求. 练习 Ｐ39　4 为递增数列. Ｐ39　9 为为递减数列. Ｐ55　2 设为定义在上的增（减）函数，证明：存在在上有上（下）界. 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 1