(勾股定理全章复习与巩固相当经典不容错过.docVIP

勾股定理全章复习与巩固 (学习目标) 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. (知识网络) (要点梳理) 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题2.勾股定理的逆定理 ，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. (典型例题类型一、勾股定理及逆定理的应用 ，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF． (思路点拨)连接DE、CE将EF转化为△DCE一边CD上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE的面积，所以利用面积法只需求出CD的长度，即可求出EF的长度，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△DCH中利用勾股定理即可求出DC． (答案解：过点D作DH⊥BC于H，连接DE、CE，则AD＝BH，AB＝DH， ∴ CH＝BC－BH＝ DH＝AB＝， 在Rt△CDH中，，∴ CD＝25， ∵ 又∵ ，∴ ，∴ EF＝10． (总结升华)（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换． 举一反三： (变式)如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长． (答案) 解：在△ABD中，由可知： ，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°． 在Rt△ADC中，． 类型二、勾股定理与其他知识结合应用 答案．∴ GB＝1000，即最短路程为1000米． (总结升华)这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三： (变式)如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值． (答案) 解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离EP＋BP也就是ED． ∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4， ∴ AD＝4，根据勾股定理得： ． ∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5． 3、等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，如图所示：问AE、EF、BF之间有何关系?并说明理由． (思路点拨)：由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理而可得到AE、EF、BF之间的关系． (答案解：(1)，理由如下： 将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合， 即△ACF′≌△BCF， ∵ 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴ ∠CAF′