高考数学（人教A版理）一轮复习教师用书第6章第5节直接证明与间接证明Word版含解析.docVIP

第五节　直接证明与间接证明 [考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点． 1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 思维过程 由因导果 执果索因 框图表示 书写格式 因为…，所以…或由…，得… 要证…，只需证…，即证… 2.间接证明 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　) (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．要证明＋2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　) A．综合法　　　　　　 B.分析法 C．反证法 D.归纳法 B　[要证明＋2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．] 3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.] 4．已知a，b，x均为正数，且ab，则与的大小关系是__________． 　[－＝0， .] 5．(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为__________三角形． 等边　[由题意2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝π，B＝，又b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，a＝c， A＝C，A＝B＝C＝，ABC为等边三角形．] 综合法 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． [证明]　(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线， 所以EFB1D1.2分 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD，4分 所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面.5分 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α， 又设平面BDEF为β. 因为QA1C1，所以Qα. 又QEF，所以Qβ， 则Q是α与β的公共点.8分 同理，P点也是α与β的公共点.9分 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R， 所以RA1C，则Rα且Rβ， 则RPQ，故P，Q，R三点共线.12分 [规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用． [变式训练1]　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线． (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤g(x)． [解]　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，2分 由题意得 解得a＝0，b＝1.5分 (2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x－1)． h′(x)＝－x2＋x－1＝.8分 所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).12分 分析法 　已知a0，求证：－≥a＋－2. 【导学号 [证明]　要证－≥a＋－2， 只需要证＋2≥a＋＋.2分 因为a0，故只需要证2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，8分 从而只需要证2≥， 只需要证4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.12分 [