高考数学（人教A版理）一轮复习教师用书第3章第6节正弦定理和余弦定理Word版含解析.docVIP

第六节　正弦定理和余弦定理 [考纲传真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R.(R为ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 变形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin Asin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝cos A＝；cos B＝；cos C＝ 解决问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B.(　　) (2)在ABC中，若b2＋c2＞a2，则ABC为锐角三角形．(　　) (3)在ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.(　　) (4)在ABC中，＝.(　　) [解析]　(1)正确．A＞Ba＞bsin A＞sin B. (2)错误．由cos A＝＞0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形． (3)错误．由b＜a知，B＜A. (4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)在ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则ABC的形状是(　　) A．锐角三角形　　　　　 B.直角三角形 C．钝角三角形 D.不能确定 C　[由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．] 3．(2016·全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A.　 　 B. C.2　　 D.3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.] 4．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________. 或　[由正弦定理＝，代入可求得sin B＝，故B＝或B＝.] 5．在ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则ABC的面积等于________． 2　[由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.] 利用正、余弦定理解三角形 　在ABC中，BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长． 【导学号 [解]　设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosBAC ＝(3)2＋62－2×3×6×cos ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3.6分 又由正弦定理得sin B＝＝＝， 由题设知0＜B＜， 所以cos B＝＝＝.9分 在ABD中，因为AD＝BD，所以ABD＝BAD，所以ADB＝π－2B， 故由正弦定理得 AD＝＝＝＝.12分 [规律方法]　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． [变式训练1]　(1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为(　　) A．30°　　　 B.45°　　 C.60°　　　 D.120° (2)(2016·全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________. (1)A　(2)　[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，a2＋c2－b2＝ac.又cos B＝，cos B＝，B＝30°. (2)在ABC中，cos A＝，