高考数学（人教A版理）一轮复习教师用书第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析.docVIP

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 [考纲传真]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y. 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0. 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　) A．5　　 B.　 C.　　 D.13 B　[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.] 3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ (　　) A．(－7，－4) B.(7,4) C．(－1,4) D.(1,4) A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A.] 4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. －6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.] 5．(教材改编)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． (1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即解得] 平面向量基本定理及其应用 　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 (2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. (1)D　(2)　[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解； 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解； 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解； 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量． (2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋， 于是得解得 所以λ＋μ＝.] [规律方法]　1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组． [变式训练1]　如图4-2-1，以向量＝a，＝b为邻边作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 图4-2-1 [解]　∵＝－＝a－b， ＝＝a－b， ∴＝＋＝a＋b.3分 ∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋ ＝＝a＋b，8分 ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.12分 平面向量的坐标运算 　已知A(－2,4)，B(3，－