高考数学（人教A版理）一轮复习教师用书第2章第2节函数的单调性与最值Word版含解析.docVIP

第二节　函数的单调性与最值 [考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1＜x2，则都有： (1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)＜f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)＞f(x2)． 2．单调性、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意的xI，都有f(x)≤M；存在x0I，使得f(x0)＝M 对于任意的xI，都有f(x)≥M；存在x0I，使得f(x0)＝M 结论 M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)(0，＋∞)．(　　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　) A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x D　[选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数； 选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减； 选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数； 选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．] 3．(教材改编)函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． ，1　[f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.] 4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________. 【导学号 　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.] 5．f(x)＝x2－2x，x[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________. [1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.] 函数单调性的判断 　(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性． (1)(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)(1，＋∞)． 令t＝x2－1，因为y＝log2t在t(0，＋∞)上为增函数， t＝x2－1在x(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．] (2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1).2分 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故当x1，x2(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)， 即函数在(，＋∞)上单调递增.6分 当x1，x2(0，)时，f(x1)＞f(x2)， 即函数在(0，)上单调递减． 考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减． 综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.12分 法二：f′(x)＝1－.2分 令f′(x)＞0得x2＞k，即x(－∞，－)或x(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞).6分 令f′(x)＜0得x2＜k，即x(－，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，).10分 故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.12分 [规律方法]　1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1]　(1