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小学数学“从数到代数”的教学研究与案例评析 孙兴华（特级教师） 一、核心内容数学基本思想分析 小学阶段代数初步的内容包括式与方程和正反比例，而式与方程中又包括字母表示数和方程两部分。代数学习的一个重要核心词为“符号意识”，此次标准修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。符号意识主要包括两方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符号。能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 概念符号。自然数就是一种符号，人们用自然数这样的符号表达数量的多少。但“符号意识”中所说的概念符号更为抽象，在小学“数与代数”中主要是指： 用字母表示数 。因为数是对数量的抽象，因此这种表示也蕴含着用字母表示一般的数量。事实上，人们对这样的表示已经约定俗成：用 t 表示时间，用 r 表示半径；用拉丁字母的前几个 a 、 b 、 c 表示已知量，用拉丁字母的后几个 x 、 y 、 z 表示未知量等等。 关系符号。关系符号在数学中是必不可少的，这是为了述说的简单准确。除了用“ + ”、“ - ”、“ × ”、“ ÷ ”等符号表示概念之间的 运算 之外，还用符号表示概念之间的性质关系。比如，用“ = ”表示相等的关系，用“ ≈ ”表示大约等于的关系，用“ ＞ ”表示大于的关系，用“ ∈ ”表示隶属关系，用“ ? ”表示包含关系等等。需要注意的是，用这样的符号表示的是两个或多个概念之间的性质关系，因此在使用这些符号时，一定要清楚符号所代表的性质本身的含义是什么。 符号意识主要强调两条，一条是 知道符号可以像数那样进行运算和推理，一条是知道通过符号运算和推理得到的结果具有一般性。第二学段开始正式引入字母表示数和简易方程，这是学生数学学习的又一次抽象。《标准》对于这方面的要求是： 1. 在具体情境中能用字母表示数。 2. 结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。 3. 能用方程表示简单情境中的等量关系（如 3x+2 ＝ 5 ， 2x-x ＝ 3 ），了解方程的作用。 4. 了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。 （一）用字母表示数 用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，是形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，对于学会各类运算的基础具有重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。 从第二学段的式与方程部分开始，讨论在具体情境中会用字母表示数；结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。以字母表示数为基础，研究代数式的概念与运算。英国关于儿童数学概念发展水平的研究表明：学生对字母表示数的理解方式可以概括为六个水平： ① 一看到字母，就直接赋予它一个数值； ② 对题中的字母视而不见，不理睬，或者承认其存在，但不赋予它任何意义； ③ 把代数式中的字母看作具体物体的记号，或直接看作物体； ④ 把字母看作特定的未知量，这时字母在儿童心中是某个具体的未知数的记号，可以直接参与运算； ⑤ 把字母看作广义的数，这时在儿童心中字母是数，而且可以取多个值； ⑥ 把字母看作变量，即儿童把字母看作可在一定范围内的变数，两组这种数之间有一种系统的关系。 可以设计学生熟悉的生活情境，让学生感受字母表示数和用字母表示某些数量关系。如： 例一：爸爸 25 岁时，小明 1 岁；爸爸 26 岁时，小明 2 岁。可以用下面的方式表示爸爸和小明年龄的关系： 用 a 表示爸爸的年龄， b 表示小明的年龄。 b=a-24 表示爸爸的年龄和小明的年龄之间的关系。 从字母表示的“数”这个对象来看，字母是数的化身，但从本质上看字母又不同于数。字母符号含有丰富的语言特性：它可以是已知数，也可以是未知数，也可以是变化的数；可以是表示具体意义的数，也可以是一般意义的数。学生对字母是未知与己知、是特殊表示与一般表示、是确定与可变等这些辩证关系进行考察时，对字母的形式与其所表达内容进行识别的过程中也是在逐步渗透辩证思想的教育。因此，重视揭示字母表示的形式与内容的辩证关系，有助于学生学会用辩证的思想去分析和解决问题，形成辩证唯物主义观点。 （二）简易方程 在第二学段，学习了方程的初步知识：能用方程表示简单情境中的等量关系（如 3 x +2 ＝ 5 ， 2 x - x ＝ 3 ），了解方程的作用。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。在这一过程中，了解了等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识，以及解简单方程的方法。对于方程作为刻画现实