高考数学理（北师大版）一轮复习计时双基练33数列求和Word版含解析.docVIP

计时双基练三十三　数列求和 A组　基础必做　　　　　　　　　　　 1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 解析　设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝。 答案　C 2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析　记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5d＝5×3＝15。 答案　A 3．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为(　　) A. B. C. D. 解析　an＝＝， ∴bn＝＝＝4， ∴Sn＝4 ＝4＝。 答案　B 4．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 016项的和等于(　　) A．1 509 B．3 018 C．1 512 D．2 016 解析　因为a1＝，又an＋1＝＋， 所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2 016项的和等于S2 016＝1 008×＝1 512。 答案　C 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝(　　) A．6n－n2 B．n2－6n＋18 C. D. 解析　∵由Sn＝n2－6n得数列{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2。 ∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7， ∴n≤3时，an0，n3时，an0， ∴Tn＝ 答案　C 6．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn1 020，那么n的最小值是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析　an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1。 ∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(21＋22＋…＋2n)－n ＝2n＋1－n－2。 ∴S9＝1 0131 020，S10＝2 0361 020。 ∴Sn1 020，n的最小值是10。 答案　D 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝________。 解析　∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，① ∴2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② ∴①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2。 答案　(n－1)·2n＋1＋2 8．设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝________。 解析　∵f(x)＝， ∴f(1－x)＝＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1。 S＝f＋f＋…＋f，　① S＝f＋f＋…＋f，　② ①＋②得，2S＝ ＋＋… ＋＝2 015， ∴S＝＝1 007.5 答案　1 007.5 9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________。 解析　∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n。 ∴Sn＝＝2n＋1－2。 答案　2n＋1－2 10．(2015—2016学年度上学期衡水中学高三年级期中考试)正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(n∈N*)。 (1)证明数列{an}为等差数列并求其通项公式； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn。 解　(1)由题意得，4Sn＝(an＋1)2,4Sn－1＝(an－1＋1)2， 作差得a－a－2(an＋an－1)＝0， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0。 由正项数列知an＋an－10， ∴an－an－1＝2。 ∴数列{an}是等差数列，其中a1＝1， ∴an＝2n－1。 (2)∵cn＝＝， ∴Tn＝， 又∵Tn是单调递增数列， ∴Tn≥T1＝，∴≤Tn。 11．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋。 (1)证明：数列是等差数列； (2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn。 解　(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1。 所以数列是以＝1为首项，1为公差的等差数列。 (2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所