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§15.3 解斜三角形 你已经熟悉了直角三角形中的角与边的关系，如对图10-3所示的直角三角形，有 a=csin?, b=ccos?, c=, tan?= (1) 等，并且，你还会应用这些关系来解直角三角形，即已知直角三角形中某些边或角，求其余角或边． 但生产活动和实际生活中，遇到的未必都是直角三角形问题，有些是斜三角形问题．例如为了求得不可直接到达的两点A,B之间的距离，通常另选一点C，测得a, b和角?(见图10-4)．如果?=90?，那是一个简单的解直角三角形问题；但若?, ∠A, ∠B没有一个是90?，那就是一个斜三角形问题了．因此有必要探求在斜三角形中，内角和边之间的关系．目前你所知道的关系是：大边对大(内)角，小边对小(内)角，这种认识太含糊了，现在我们要把这种所谓“对”予以数量化，说得更具体一些，是边与内角的三角函数之间的关系． 一．正弦定理、余弦定理 1、知识要点 (1)正弦定理 如图10-5，在任意三角形?ABC中，以B为原点，BC边为x轴建立直角坐标系．设i, j为基底，则= ai, =+， 两边都求与j的数量积，由数量积定义并注意i?j=0，得 bcos(90°-C)=0+c?cos(B-90°)，bsinC=csinB， ； 若边都求与i的数量积，同理可得． 合之有 ． (10-2-1) 即任何三角形三内角的正弦与三条对边的对应比相等．我们把这个结论叫做正弦定理． 特别地，若∠C=90°，即?ABC是直角三角形，则sinC=1，于是正弦定理化为 =c 或 , ， 这正是直角三角形中的边角关系．因此正弦定理是直角三角形边角关系的推广． 正弦定理也能从面积关系导出．设S表示?ABC的面积，h为边BC上的高(见图10-5)，则h=bsinC=csinB，于是得到：，同理还可以得到，合在一起则有． 又根据三角形的面积公式得：S=ah=acsinB=absinC，同理还可以有S=bcsinA． 由此不但可以得到正弦定理(10-2-1)，还可以得到一个十分有用的付产品：任一个三角形的面积，都等于任意两边及其夹角正弦乘积的一半． (2)余弦定理 把从图(10-5)中得到的=+，有=-，两边自取数量积，得 ?=(-)?(-)， 展开等式右边，注意各向量的模对应为三角形边长，得 c2=a2+b2-2abcosC，或 ； 同理 a2=b2+c2-2bccosA，或 ； (10-2-2) b2=a2+c2-2accosB，或 ． 公式组(10-2-2)叫做余弦定理，即三角形任何一边长的平方，等于其它两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍． ?ABC中只要有任何一个内角为直角，例如∠C=90°，即有c2=a2+b2，这就是勾股定理．可见余弦定理是直角三角形的勾股定理向斜三角形的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例． 2、例题分析 例1 在ΔABC中，求证：a=2RsinA(R表示ΔABC外接圆的半径)． 证明 (1)若A为锐角(图3(1))，作直径BA，连A?C，则∠A=∠A?．在RtΔA?BC中，BC=A?BsinA?=2RsinA，即a=2RsinA； (2)若A是直角(图3(2))，由RtΔABC得a=2RsinA； (3)若A是钝角(图3(3))，作直径BA?，连A?C，则∠A?=? -A．在RtΔA?BC中， BC=A?B?sinA?=2Rsin(? -A)=2RsinA，即a=2RsinA． 由(1),(2),(3)，即知a=2RsinA，即． 联系正弦定理，又有 ， 这表明任意三角形的一边与对角的正弦值之比是一个常数，这个常数是三角形外接圆的半径．这是一个很有用的结论，同学在今后的学习中可能会用到这一结论． 例2　如图10-6，在⊿ABC中，已知三边AB,BC,AC，求三角形的三个内角(精确到分)． 解　对角A应用余弦定理， BC2=AC2+AB2-2AB?AC?cosA， 得 cosA=， 应用计算器，求得　A?48?11?；对角B应用余弦定理， 　　　　AC2=BC2+AB2-2AB?BC?cosB， 得 cosB=．应用计算器，求得　B?73?24?；C=180?-(A+B) ?58?25?． 例3 如图10-7，在⊿ABC中已知边AC和角A,B，求AB,BC和角C (取6位小数)． 　　解　C=?-(A+B)=?-(+)=；