相似第一课时_比例和比例线段及黄金分割试题.doc

相 似 形 第一课时：比和比例线段 （一）基本内容： 1.两线段的比:在同一单位下，两线段的长度比. 2.（成）比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 设a、b、c、d为线段，若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. 3.比例性质： （1）比例的基本性质（这是等积式与比例式互相转化的依据） （2） 合比性质 若，则或. （3）等比性质 如果，那么 （二）重要方法： 1. 合比性质的推导： ∵， ∴ ∴ 2. 等比性质的推导： ∵ ∴设 则 又∵ ∴ 例1. （易） （1）求4、9的比例中项；（2）求4cm、9cm的比例中项. 解析：利用比例中项的定义求解即可. 解：（1）设比例中项为x，则 4：x=x：9 x2=36 x=±6 （2）设比例中项为xcm，则 4：x=x：9 x2=36 x=6（负值舍去） 答：（1）4、9的比例中项为±6；（2）4cm、9cm的比例中项为6cm. 总结：要牢记比例中项的定义，注意有单位与无单位的区别，有单位代表的是线段，不能为负；无单位，代表的是数，不能丢掉负值（前提已说明是线段的例外）. 例2. （中）（1）求2、3、4的第四比例项； （2）求3、2、4的第四比例项； （3）求能与数2、3、4成比例的数x.. 解析：利用第四比例项和成比例的定义解决这几个问题即可. 解：（1）设第四比例项为d，则2：3=4：d, 2d=12，d=6 （2）设第四比例项为e，则3：2 =4：e, 3d=8 d= (3)若x与2同为内项或外项，则有2x=12,x=6； 若x与3同为内项或外项，则有3x=8,x=； 若x与4同为内项或外项，则有4x=6,x=. 总结：注意第四比例项的位置，以及前三项的严格顺序；若题中没有指明第四比例项，则要注意分类讨论. 例3. （难）(1)若（2x-3y）∶(x+y)=1∶2,求x∶y； （2）已知三角形三边之比为a∶b∶c=2∶3∶4，三角形的周长为18㎝，求各边的长. （3）若，求k的值； 解析：利用比例的性质即可解决. 解：（1）由（2x-3y）∶(x+y)=1∶2得 2（2x-3y）=x+y 3x=7y ∴x∶y=73 （2）∵a∶b∶c=2∶3∶4， ∴设a=2k,b=3k,c=4k ∵三角形的周长为18㎝ ∴a+b+c=18 即2k+3k+4k=18 ∴k=2 ∴a=4㎝,b=6㎝,c=8㎝ 答：三边长分别为4㎝,6㎝,8㎝. （3）由得 a+b=ck ① b+c=ak ② a+c=bk ③ 由①+②+③得：2(a+b+c)=k(a+b+c) 当a+b+c≠0时，k=2； 当a+b+c=0时，a+b=-c, 综上所述，k的值为2或-1. 总结：比例基本性质的顺用与逆用是解决比例问题的常用方法，设比值为k,或比的每一份为k也是解决比例问题的又一重要方法，同时注意分类讨论. （三）总结 1.单位要统一； 2.注意第四比例项的位置及各项顺序； 3.比例中项有几种不同形式：或a∶b=b∶c或b2=ac或b= 4.解决比例问题的常规方法： （1）比例基本性质的顺用与逆用； （2）设比值为k,或比的每一份为k. （四）思考与提高：（中）1．已知，求的值。（） （难）2．已知 ， 求 的值.（2或0） 一、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1. AC(0.618AB；2. 0.618叫做黄金比；3. 一条线段有两个黄金分割点. C点为线段AB的黄金分割点， 即 解这个关于AC的方程，得 ，又AC0 ∴ 三、黄金分割的做法： 1.作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线段AC、BC需满足.下面进行验证.为了计算方便，可设AB=1. 证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 （x+）2=12+（）2 ∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x ∴x2=1·（1－x） ∴AC2=AB·BC即： 即点C是线段AB的一个