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例. 已知数据表 * §6 三次样条 /* Cubic Spline */ 　　　设 。三次样条函数 , 且在每个 上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同时还满足 ，则称为 f 的三次样条插值函数 /* cubic spline interpolant */. 定义 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x) §6 Cubic Spline ? 构造三次样条插值函数的三弯矩法 /* method of bending moment */ 在 上，记 ] , [ for ) ( ) ( 1 ] [ j j j x x x x S x S - ? = 对每个j, 此为3次多项式 则 S[j]”(x) 为 次多项式，需 个点的值确定之。 1 2 设 S[j]”(xj?1) = Mj?1， S[j]”(xj) = Mj 对应力学中的梁弯矩，故名 对于x ?[xj?1, xj ] 可得到 S[j]”(x) = j j j j j j h x x M h x x M 1 1 - - - + - 积分2次，可得 S[j]’(x) 和 S[j](x) ： j j j j j j j A h x x M h x x M + - + - - - - - 2 ) ( 2 ) ( 2 1 1 2 1 S[j]’(x) = j j j j j j j j B x A h x x M h x x M + + - + - - - 6 ) ( 6 ) ( 3 1 3 1 S[j](x) = 利用已知S[j](xj?1) = yj?1 S[j](xj) = yj 可解 §6 Cubic Spline j j j j j j j h M M h y y A 6 1 1 - - - - - = j j j j j j j j j j j j h x x h M y h x x h M y B x A 1 2 2 1 1 ) 6 ( ) 6 ( - - - - - + - - = + 下面解决 Mj ： 利用S’ 在 xj 的连续性 [xj?1, xj ]: S[j]’(x) = j j j j j j j j j j j h M M x x f h x x M h x x M 6 ] , [ 2 ) ( 2 ) ( 1 1 2 1 2 1 - - - - - - + - + - - 1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 ] , [ 2 ) ( 2 ) ( + + + + + + + - - + - + - - j j j j j j j j j j j h M M x x f h x x M h x x M [xj , xj+1]: S[j+1]’(x) = 利用S[j]’(xj) = S[j+1]’(xj)，合并关于Mj?1、 Mj、 Mj+1的同类项，并记 , , , 整理后得到： 1 1 j j j j h h h + + + = l 1 j j - = l m ]) , [ ] , [ ( 6 1 1 1 j j j j j j j x x f x x f h h g - + + - + = 2 1 1 g M M M j j j j j j = + + + - l m ? j ? 1 n?1 即：有 个未知数， 个方程。 n?1 n+1 还需2个边界条件 /* boundary conditions */ §6 Cubic Spline ? 第1类边条件 /* clamped boundary */： S’(a) = y0’， S’(b) = yn’ [a , x1 ]: S[1]’(x) = 1 0 1 1 0 1 2 1 1 2 1 0 6 ] , [ 2 ) ( 2 ) ( h M M x x f h a x M h x x M - - + - + - - 0 1 0 1 1 0 ) ] , [ ( 6 2 g y0’ x x f h M M = - = + n n