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二 次 函 数 一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 例：已知关于x的函数）当a,b,c满足什么条件时 （1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数 二、二次函数是常数，的性质 （1）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点. ③｜｜越大，开口越小。 （2）顶点是，对称轴是直线 （3）①当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大； ②当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。 （4） 轴与抛物线得交点为(0,) 例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是() A． a0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c0练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）． A．B．C．D．，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ），顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：的顶点为(,)，对称轴是直线. (3)利用交点式求对称轴及顶点：，对称轴为 例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴： （1） （2） （3） 例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 .经过怎样平移得到 答案： 例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 A． B．C． D． 经过怎样平移得到 2、抛物线向左平移2个单位，再向上移3个单位得到，求b和c。 3、（2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 五、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. (4)一般式与顶点式的变换 例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式： （1）已知抛物线过 （2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）； （3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4） 例2、将（） 练习：1、将 2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则） 七、与一元二次方程的关系 0 ＝0 0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 抛物物与x轴有两个交点 抛物物与x轴只有一个交点 抛物物与x轴没有交点 韦达定理：（二者都可以用） 例1、（2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？ A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根 C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根 与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为 ，三角形ABC的面积是 。 练习：1.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．（ ） 2.（2011湖北襄阳，1，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是A. B. C.且 D.且已知抛物线与x轴有交点． (1)求c的取值范围； (2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 是常数，最大值或最小值 ①，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标； ②，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。 2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底 3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他 4、拱桥问题 例1、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有（ ） A． 最大值 B． 最小值 C． 最大值 D． 最小值 例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余下的可耕地面积为y（）。 请你写出y与x之间的解析式； 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少？ 若余下的耕地面积为4408，求此时水渠的宽度。 例3