高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）..docVIP

高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题） （命题者的首选资料） 1. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证: （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）若则当n≥2时,. 解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,. （1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时, 因为0x1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.————4分 又由, 得,从而. 综上可知————6分 (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在上连续,所以g(x)g(0)=0. 因为,所以,即0,从而————10分 (Ⅲ) 因为 ,所以, , 所以 ————① , ————12分 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因为, n≥2, 所以 =————② . ————14分 由①② 两式可知: .————16分 为锐角，且， 函数，数列{an}的首项. ⑴ 求函数的表达式； ⑵ 求证：； ⑶ 求证： 解：⑴ 又∵为锐角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 3.（本小题满分14分）已知数列满足 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列； （Ⅲ）证明： 解：（1），……………………2分 故数列是首项为2，公比为2的等比数列。……………………3分 ，…………………………………………4分 （2），……………5分 ① ② ②—①得，即③……………………8分 ④ ④—③得，即……………………9分 所以数列是等差数列 （3）………………………………11分 设，则 …………13分 ………………………………14分 4.设（e为自然对数的底数） （I）求p与q的关系； （II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （III）证明： ①； ②（n∈N，n≥2）. 解：（I）由题意 （II）由（I）知： 令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足： h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分 ①， ∴g(x)在（0，+∞）单调递减， ∴p=0适合题意.………………………………………………5分 ②当p0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线， 称轴为x=∈（0，+∞）. ∴h(x)min=p－. 只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0， ∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分 ③当p0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线， 其对称轴为x=（0，+∞）， 只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ ∞)恒成立. ∴g′(x)0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减， ∴p0适合题意. 综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分 （III）证明：①即证：lnx－x+1≤0 (x0)， 设. 当x∈（0，1）时，k′(x)0，∴k(x)为单调递增函数； 当x∈（1，∞）时，k′(x)0，∴k(x)为单调递减函数； ∴x=1为k(x)的极大值点， ∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分 ②由①知lnx≤x－1,又x0， ∴结论成立.…………………………………………………………………………14分 5.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：． 解：（Ⅰ）∴ 当时， ，即是等比数列． ∴； ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列， 则有而 故，解得，再将代入得成立， 所以． （III）证明：由（Ⅱ）知，所以 ， 由得 所以， 从而 ． 即． …………………………14分 6.已知数列满足 , ，．