高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)..docVIP

函数与导数相结合压轴题精选（二） 11、已知为连续、可导函数，如果 既有极大值M，又有极小值N，求证： 证明：由题设有不仿设， 则由 处取极大值，在x2处取极小值， 由方程有两个相异根，有 又，得证. 12、已知函数在（0，1）上是增函数. （1）求实数a的取值集合A； （2）当a取A中最小值时，定义数列满足：，且为常 数），试比较的大小； （3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C，使对一切恒成立？ （1）设 由题意知：，且 （4分） （注：法2：恒成立，求出）. （2）当a=3时，由题意： 以下用数学归纳法证明：恒成立. ①当n=1时，成立； ②假设n=k时，成立，那么当时， ，由①知 在（0，1）上单调递增，， 由①②知对一切都有 （7分） 而 （9分） （3）若存在正实数c，使恒成立 （10分 令上是减函数， 增大，而小， 又为递增数列，所以要使恒成立， 只须 （14分） 13、已知在区间[－1，1]上是增函数. （1）求实数a的值所组成的集合A. （2）设关于x的方程的两根为、，试问：是否存在实数m，使得不等式 对任意恒成立？若存在，求出m的取值 范围；若不存在，请说明理由 （1） 是是增函数 恒成立. 设 是连续函数，且只有当， 以及当 （2）由 是方程的两实根. 从而 要使不等式对任意恒成立， 当且仅当恒成立， 即对任意恒成立. 设 则有 存在m，其范围为 14、已知二次函数y=g(x)的图象过原点和点（m，0）与点（m+1, m+1）， （1）求y=g(x)的表达式； （2）设=(x－n)g(x)(mn0)且在x=a和x=b(ba)处取到极值， ①求证：bnam； ②若m+n=2，则过原点且与曲线y=相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？ （文科生做）设常数a0, a≠1，函数， （1）讨论在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明； （2）设g(x)=1+loga(x－3),如果=g(x)有实数根，求a的取值范围. （理科生做）解：（1）设g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得 …………………………3分 （2）∵f(x)=(x－n)g(x)=x(x－m)(x－n)=x3－(m+n)x2+mnx, ∴f′(x)=3x2－2(m+n)x+mn.…………… 5分 ①由题意知，a ,b为方程f′(x)=0的两个实根， 又f′(0)=m·n0, f′(n)=n(n－m)0, f′(m)=m(m－n)0, ∴两根x=b，x=a分布在（0，n），（n，m）内.又ba，∴bnam.…………9分 ②设两切点的横坐标分别为x1, x2，则切线l1的方程为 y－f(x1)=[3－2(m+n)x1+mn](x－x1). 又l1过原点，∴－x1(x1－m)(x1－n)= [3－2(m+n)x1+mn](－x1) 解得x1=0, 或x1=,同理x2=0或x2=.∴x1=0, x2=.……………………12分 两切线的斜率分别为k1=mn，k2=， 若两切线相互垂直，则k1k2=－1，即mn=－1，得mn=1. 解方程组 故存在过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线互相垂直.………………14分 （文科生做）解：（1）.利用定义可以证明当a1时，f(x)是 （－∞，－5）上的增函数； 当0a1时，f(x)是（－∞，－5）上的减函数（证明略）……………………6分 （2）∵g(x)=1+loga(x－3), f(x)=g(x)有实根，即loga=1+loga(x－3)有实根， 则实根大于5.又因为1+loga(x－3)=loga[a(x－3)]，原方程有大于5的实根，即 方程=a(x－3)有大于5的实数根.…………………………………………9分 由此解得a=(a0) 当且仅当………………14分 15、已知函数 （1）若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由； （2）若函数在[0，2]上是增函数，是方程=0的一个根， 求证：； （3）若函数图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围. 解：（1）不能，取 即存在点（－1，2+b）在函数图象上，且在直线的上方； （3分） （2）由是方程的一个根，得即 （4分） 又 又函数在[0，2]上是增函数，， （7分） （9分） （3）设任意不同的两点，则 16、（理）设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值. （文）函数为常数且）取极小值时，求x的值. 理）解： ………………2分 令 ………………4分