8.2偏导数全微分讲解.ppt

第二节 一、 偏导数概念 二 、高阶偏导数 多元函数的偏导数与全微分 三、多元函数的全微分 定义8.3. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 事实上: 一、 偏导数的概念 同样可定义在点 处对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 简称为 对变量x或y的偏导数 , 记为 或 y 偏导数都存在 , 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为 例1 例2 设 求 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 注意： 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 例 二、高阶偏导数 z = f (x , y)的偏导函数 的偏导数， 称为它的 的二阶偏导数 . z = f(x,y) 的高阶偏导数还可使用下列记号 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 个 二阶混合偏导 例 类似可以定义更高阶的偏导数. 例 例 例 共 23 = 8 个. 求 的二阶偏导数. 先求一阶偏导数： 再求二阶偏导数： 例 解 发现两个混合偏导数相等 一般性？ 这一结论并不总成立. 二者不等 例 定理 废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么. 有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！ 若 的二阶混合偏导数在 点 的某邻域 内存在且连续， 则在 内 对n元函数的高阶混合偏导也成立. 1.多元函数的全增量和偏增量 三、多元函数的全微分 函数的全增量 z=f (x,y)的定义域为D， 点 对 称 为z=f (x,y)在点(x,y)处的全增量. 函数的偏增量 ① 时， 处对变量x的偏增量. 为z=f (x,y)在点(x,y) ② 时， 处对变量y的偏增量. 为z=f (x,y)在点(x,y) 如果函数 z = f ( x, y )在点 都可表示成 全微分, 若函数在开区域 D 内各点都可微, 则称函数 则称此函数在D 内可微. 2.多元函数的全微分 定义8.4 的某邻域 内有定义， 若对任意 全增量 处的 其中 A, B 是不依赖于? x , ? y 的常数, 仅与 有关， f (x, y) 在 处可微， 称为函数 f (x, y) 在点 处的 此时，z = f (x, y)在D内任意点的全微分，记作 dz 或 df(x,y). 记作 (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由可微的定义 : 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理8.2 定理8.3(必要条件) 若函数z = f (x, y) 在点 处可微 , 则该函数在该点处对变量x和y偏导数 同样可证 证: 由可微得 必存在,且有 定理得证. 偏增量 得到对 的 习惯上，自变量的改变量也称为自变量的微分， 记 则 即 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理8.3 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 定理8.4 (充分条件) 若函数 的偏导数 则函数在该点可微. 注意: 定理8.4 的逆定理不成立 . 反例见P81，例8. 即: 可微不一定偏导数连续 ! 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 若三元函数 在点 处可微， 处的全微分为 则其在 例1. 设 求 例2. 设 求 可知当 全微分的应用— 近似计算 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于近似计算)