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水文地质数值模拟 李 铎 第一章 绪论 一、地下水运动的基本定律 1. 水均衡原理 流入量 – 流出量 = 贮存量的变化量 流入量包括: 流出量包括: 2. 达西定律 Q = KAI 或 V = KI 这两个定律在地下水资源评价、数学模型的建立中应用 二、求解数学模型的方法 解析法：用数学上的积分或积分变换等方法直接求数学模型的解，其解为解析解。 数值法：在电子计算机上用离散化的方法解数学模型，其解为数值解。 从数学方法上讲，解析解是精确的。 数值解是近似的。 从实际应用上讲，解析法求的结果误差大。 数值法求的结果误差小。 潜水的稳定运动 1 假设条件 ① 含水层均质各向同性，底部隔水层水平，上部有均匀入渗； ② 河渠基本上彼此平行，潜水流可视为一维流； ③ 潜水流是渐变流并趋于稳定。 2 模型建立和求解 在上假设的条件下，建立如图坐标系，则数学模型为： 模型求解： 将微分方程化为： 两边不定积分： 再化简： 再积分： 得： 当x=0时，h=h1，代入上式得：C2=h12 当x=l时，h=h2，代入上式得： 将C1、C2代入上式，得 此式为河渠有入渗或蒸发的潜水流的浸润曲线方程。 河渠间任意断面的单宽流量： 将上式对x求导： 化简得： 由Darcy定律可得断面的单宽流量为： 将上式代入，得： 此式为河渠间有入渗时，距左河x处断面的单宽流量。 水位公式： 单宽流量公式： 三、解析法的局限性 1. 难以适应复杂的水文地质几何边界。 2. 难以描述含水层的非均质性。 3. 难以处理含水层中的线状补给及局部的面状补给。 4. 难以克服含水层不同地段的各向异性。 四、数值模拟 1. 离散化方法 例，假定研究的问题是求一具有均匀垂直补给的矩形区域的入渗补给量，如图。设入渗补给量为Q渗，则有 Q渗=εab 式中：ε为入渗强度。 如果问题更复杂 一些，这样计算误差 就比较大。 如，入渗强度为ε(x，y)随坐标变化，且区域是极不规则的，如图。计算如下： 用相互正交的直线组将研究区域分成几个小域，近似地认为在小域上垂直入渗量为常数。则每个小区域入渗补给量为： 全域的垂直入渗量为： 这种把整体剖分成若干个 小区域，称为离散化方法。 经过小区域的近似计算后， 求和得整个区域的量。 2. 数值法的基本思想 （1）将空间域、时间域进行离散化。 （2）在离散化的每一个结点上，将微分方程转化为代数方程。 （3）解线性方程组，得每一结点上的水位。 3. 数值法求解水文地质数学模型的步骤 （1）将研究的空间区域、时间区域离散化； （2）离散化后，将一个大区域化成了多个小区域，每一个小区域是一个均衡域，在每个小均衡域上定义一个特征点，这个点上的物理量是小单元的代表值； （3）建立内结点之间各物理量的代数方程； （4）建立边界结点与内结点之间各物理量的代数方程； （5）解方程组，得各结点的水头H； （6）若计算下一时刻的水头，重复上述步骤。 4. 数值法可解决的问题 （1）数值法可以解决复杂水文地质条件和地下水开发利用条件下的地下水资源评价问题，如非均质含水层、各类复杂边界含水层、多层含水层地下水开采问题等； （2）用数值法可进行地下水补给资源量和可开采资源量的评价； （3）通过对已知地下水动态（地下水位）的拟合，可以识别水文地质条件，如水文地质参数、边界条件、均衡项等，有助于进一步认识水文地质条件； （4）可以预测各种开采方案条件下地下水位的变化，即预报各种条件下的地下水状态； （5）地下水管理的决策辅助工具。即作为分布参数地下水管理模型的基础； （6）可以程序化，对某一类问题只要编出通用程序后，对不同的具体问题只要按程序整理好数据就可以直接上机计算。 5. 数值法的特点 （1）首先，要求计算者对研究区域的水文地质条件非常熟悉，掌握研究区内的地质结构、含水层结构。 （2）需要有