相似三角形的应用..docVIP

北 京 四 中 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 撰稿：庄永春 　　审稿：赵云洁 　　责编：张杨 　　　　　　　　　　　　　　　　相似三角形的应用　　一、知识要点： 　　（一）相似三角形的应用主要有如下两个方面 　　1．测高（不能直接使用皮尺或刻度尺度量的）； 　　2．测距（不能直接测量的两点间的距离）。 　　（二）测高的方法 　　测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。　　（三）测距的方法 　　测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　　1．如图甲所示，通常可先测量图中的“线段”BD、DC、DE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 　　 　　2．如图乙所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。　　二、例题解析： 　　例1.如图，AB、CD相交于点O，且ACBD，则OA·OD＝OC·OB吗？为什么？ 　　　　解：AC∥BD　　B＝A，D＝C　　OBD∽△OAC　　　　OA·OD＝OB·OC　　因此OA·OD＝OC·OB成立．　　例2.如图，物AB与其所成像A′B′平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A′的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？　　　　解：AB∥A′B′　　ABO=∠A′B′O　　又 AOB=∠A′OB′　　AOB∽△A′OB′　　　　AO=36cm，A′O=12cm　　则　　答：像长与物长之比为．　　例3.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．　　　　(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么? 　　(2)求古塔的高度．　　解：(1)ABC∽△ADE．　　BC⊥AE，DEAE　　ACB=∠AED=90°　　A=∠A　　ABC∽△ADE　　(2)由(1)得ABC∽△ADE　　　　AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m　　　　DE=16m　　答：古塔的高度为16m。　　例4.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？　　 　　 　　方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽。　　方案2：如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？　　解：AB⊥BC，CDBC　　ABO=∠DCO=90°　　又 AOB=∠DOC　　AOB∽△DOC　　　　BO=50m，CO=10m，CD=17m　　AB=85m　　答：河宽为85m．　　例5. 已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE。亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 　　　　分析：作EFDC交AD于F。则，利用边的比例关系求出BC。　　解：作EFDC交AD于F。因为ADBE，所以又因为，所以，所以。因为ABEF， ADBE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m。所以m。　　例6. 用一个正方形完全盖住边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的一个三角形，这个正方形的边长最小是多少？　　分析：设三边EF、FG、GE分别长3cm，4cm，5cm　　则是直角三角形，其中，EG为斜边。 显然，边长为4cm的正方形能完全盖住，但不是最小的，可以设想一个完全盖住的正方形ABCD，如图所示，此时正方形的边长　　　　解：设，则， 　　而， 于是，　　即　　整理后可解得： 　　所以要完全盖住的最小正方形边长　　三、课后练习：　　1．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？　　　　2.测量河宽AB，先从A处出发，沿河岸走100步到C处，在C处立一根杆标，然后沿AC继续朝前走20步到D处，在D处，转过90°角沿DE方向再走32步，到达E处，并使河对岸的B处（目标物）和C、E同在一直线上，问测得河宽为多少米？（1步