河北省唐山市开滦第二中学高中数学2.4.1平面向量数量积的含义学案新人教A版必修4..doc

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案 新人教A版必修4 【学习目标】 理解平面向量数量积的含义， 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义； 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。 【重点难点】 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义； 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。 【学习内容】 问题情境导学 一、向量数量积的定义 【想一想】 (1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？ (2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？ 【填一填】 (1)已知两个非零向量与，它们的夹角为，则把数量_____叫做与数量积(或内积),记作即=________， (2)规定零向量与任一向量的数量积为______________． 【思考】 向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 二、向量数量积的几何意义 【想一想】 结合图形，你能作出吗？ 【填一填】 数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影___________的乘积． 【思考】 在方向上的投影是个什么量？ 三、向量数量积的性质 【想一想】 的夹角，，时，的结果怎样？当时，的结果又怎样？ 【填一填】 设与都是非零向量，为与的夹角． (1)__________________； (2)当与同向时，=________，当与反向时，=________； (3)=________或； (4)； (5) ． 【思考】 若，与的夹角是锐角吗？若，与的夹角是钝角吗？返过来呢？ 四、向量数量积的运算律 【想一想】 若是实数，则下列运算律成立： (1)； (2)； (3)； (4)． 若以上字母除外都是向量，以上运算律还成立吗？ 【填一填】 (1)=________； (2)________________； (3)__________________． 【思考】 若，与一定相等吗？为什么？ 课堂互动探究 【类型一】数量积的基本运算 例１、已知，，当①//；②；③与的夹角为时，分别求与的数量积． 【类型二】与向量的模有关的问题 例2、已知向量、满足，，求 ． 【类型三】两向量的垂直与夹角问题 例3、已知，，向量、的夹角为， ，，求当为何值时，垂直？ 【课后作业与练习】 基础达标 (1)若，，与的夹角为，则为 (A) 　 (B) 　　 (C) (D) (2)已知，在方向上的投影是，则为 (A) 　 (B) 　 　 (C) (D) (3)已知，，且，则与的夹角 (A) 　 (B) 　(C) (D) (4)设与的模分别为或，夹角为，则等于 (A) 　 (B) 　 (C) (D) (5)已知、是非零向量，且满足，，则与的夹角是 (A) 　 (B) 　　(C) (D) (6)若两个单位向量，夹角为，且向量，，则___________________． (7)已知向量、满足，且 ，，则与的夹角是___________________． (8) 已知非零向量与的夹角为，若，且 ，则的值为___________________． 能力提升 (9)已知， ，． ①求与的夹角； ②求． (10)在边长为的正三角形中，设， ，求． (11)已知，且，，若对两个不同时为零的实数，，使得与垂直，试求的最小值． (12) 已知非零向量与的夹角为，，，设，试求的最小值，并求出相应的值．  1