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2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.渐近线的条数为（） （A）0 （） 【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选 （2）设函数，其中为正整数，则 （A） （） （D） 【答案】： 【解析】： 所以 （3）如果在处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A）若极限存在，则在处可微 （）存在，则在处可微 （C）若在处可微，则极限存在 （D）若在处可微，则极限存在 【答案】： 【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有 这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。 （4）设 sinxdx(k=1,2,3),则有D （A）I1 I2 I3. (B) I2 I2 I3. (C) I1 I3 I1, (D) I1 I2 I3. 【答案】：(D) 【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D （5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） （） （D） 【答案】：（C） 【解析】：由于，可知线性相关。故选（C） （6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（ ） （A） （） （D） 【答案】：（），则， 故 故选（）（） 【答案】：（A） 【解析】：的联合概率密度为 则 （8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（） 【答案】： 【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.满足方程及，则=________。 【答案】： 【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。 故 （10） ________。 【答案】： 【解析】：令得 （11） ________。 【答案】： 【解析】： （12）设则________。 【答案】： 【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式 （13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为________。 【答案】： 【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。 （14）设是随机事件，互不相容，,,则________。 【答案】： 【解析】：由条件概率的定义，， 其中， ，由于互不相容，即，，又 ，得，代入得，故. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.10分） 证明： 【解析】：令，可得 当时，有，，所以， 故，而，即得 所以。 当，有，，所以， 故，即得 可知， （16）（本题满分10分） 求的极值。 【解析】：， 先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为. 又， 所以，故在点处取得极大值. （17）（本题满分10分） 求幂级数x2n 的收敛域及和函数 【解析】： （18）（本题满分10分） 已知曲线，其中函数具有连续导数，且，。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。 【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为. 故有，又因为 所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数. （2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为： . （19）（本题满分10分） 已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分。 【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式 （20）（本题满分10分） 设， （Ⅰ）求 （Ⅱ）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。 【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。 此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为 线性方程组存在2个不同的解，有. 即：，得或-1.当时, . （21）（本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。 1）求 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 【解析】：1）由可得， 2） 则矩阵 解得矩阵的特征值为： 对于得对应的