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第五章习题参考答案与提示第五章数理统计初步习题参考答案与提示1.在总体中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值)3.6,52(~2NXX落50.8到53.8之间的概率。答案与提示：由于)/,(~2nNXσμ，所以{50.853.8}0.8293PX=。2.在总体中随机抽取一长度为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大3的概率是多少？)20,8(~2NX答案与提示：由于2~(,/XNnμσ)，所以{83}0.1336PX?=3．设为来自总体nXXX,,,21??)(~λPX的一个样本，X、分别为样本均值和样本方差。求2SXD及。2ES答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体期望、总体方差的关系，显然应由定理5-1来解决这一问题。2,DXDXESnnλλ===。4．设是来自正态总体的随机样本，。试确定、b使统计量4321XXXX，，，)30(2，N243221)32()2(XXbXXaX?+?=aX服从分布，并指出其自由度。2χ答案与提示：依题意，要使统计量X服从分布，则必需使及服从标准正态分布。解得2χ)2(212/1XXa?)32(432/1XXb?a=1/45；b=1/117。5．设X和Y独立同分布和分别是来自N()032，，921XXX，，，??921YYY，，，??X和Y的简单抽样，试确定统计量UXXYY=++++11292????9 所服从的分布。答案与提示：应用t分布的定义，得UXXYY=++++191292????~()t96．设随机变量~()Xtn(1n )，试确定统计量21YX=所服从的分布。答案与提示：先由t分布的定义知nVUX=，再利用F分布的定义即可。—1—第五章习题参考答案与提示)1,(~12nFXY=。7.设总体X服从正态分布，而是来自总体)2,0(2N1521,,,XXX??X的简单随机样本，试确定随机变量)(221521121021XXXXY++++=????所服从的分布。答案与提示：由于，)10(~10/)4/4/(221021χXX++??)5(~5/)4/4/(2215211χXX++??，故)5,10(~)(221521121021FXXXXY++++=????8．设为来自正态总体的一个样本，nXXX,,,21??),(~2σμNXμ已知，求的极大似然估计。2σ答案与提示：设为样本的一组观察值。则似然函数为nxxx,,,21??XXXn12，，，??Π=??=nixieL12)(22221)σμσπσμ，（()=Σ??=()122212221πσσμnxeiin，得的极大似然估计为2σΣ=?=niixn122)(1?μσ。9．设)1,(~μNX，为来自正态总体nXXX,,,21??X的一个样本，试求μ的极大似然估计及矩估计。答案与提示：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本题只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。μ的极大似然估计为11?niiXnμ==Σ。μ的矩估计为11?niiXnμ==Σ。10．设为来自正态总体的一个样本，求下述各总体的密度函数中的未知参数的矩估计及极大似然估计。nXXX,,,21??（1）???+=,,0,10,)1(),(其它xxxfθθθ其中1?θ为未知参数。—2—第五章习题参考答案与提示（2）?????≤=??,0,0,0,),(1xxeaxxfaxaλλλ其中λ为未知参数，为常数。0a（3）?????=?,,0,0,)(222/2其它xexxfxθθ其中,θθ,0为未知参数。答案与提示：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本例只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据内容提要中的四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。（1）矩估计：??θ=??211XX。极大似然估计：??lnθ=??=Σ11nXiin。（2）矩估计：1()?aaaaaXλ??Γ????=。极大似然估计：Σ==niaiXn1?λ。（3）矩估计：πθ2?X=。极大似然估计: Σ==niixn1221?θ11．设为总体nXXX，，，??21X的一个样本，且X服从几何分布，即??,3,2,1,)1(}{1=?==?kppkXPk，求的极大似然估计量。p答案与提示：极大似然估计为??p=X/112．设为总体XXXn12，，，??X的一个样本，且X服从参数为的二项分布，求pm,p的极大似然估计量。答案与提示：的极大似然估计量为p??p=mX