(第八章第五节椭圆.docVIP

一、选择题 1．(2011·新课标全国卷)椭圆＋＝1的离心率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8. ∴e＝＝. 答案：D 2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1　　　　　　　　 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：由x2＋y2－2x－15＝0， 知r＝4＝2a?a＝2. 又e＝＝，c＝1. 答案：A 3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A 4．如图所示，椭圆＋＝1(ab0)的离心率e＝，左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan∠BDC的值等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C. D. 解析：由e＝知＝＝， ＝. 由图知tan∠DBC＝tan∠ABO＝＝， tan∠DCB＝tan∠FCO＝＝. tan∠BDC＝－tan(∠DBC＋∠DCB) ＝－＝－3. 答案：B 5．方程为＋＝1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：设点D(0，b)，A(－a,0)则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝. 答案：D 二、填空题 6．(2012·江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4. 答案：4 7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________． 解析：∵||·＝0，∴⊥. ∴||2＝||2－||2 ＝||2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小， 故||min＝2，∴||min＝. 答案： 三、解答题 8．(2011·陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为. (1)求C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4. 又e＝＝得＝， 即1－＝.∴a＝5. ∴C的方程为＋＝1. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0，解得 x1＝，x2＝， ∴AB的中点坐标＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－. 即中点坐标为(，－)． 9．(2012·天津河西模拟)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点． (1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标； (2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围． 解：(1)由题意知a＝2，b＝1，c＝， 所以F1(－，0)，F2(，0)． 设P(x，y)(x0，y0)， ＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)． 由·＝－，得x2＋y2－3＝－. 联立解得点P(1，)． (2)可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将y＝kx＋2代入椭圆方程， 得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. 由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·120，得k2.　① 又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角， 所以·0，即x1x2＋y1y20. 即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k(－)＋4＝0. 所以－k24.　② 由①②可知k24， 故k的取值范围是(－2，－)∪(，2)． 10．(2012·南昌模拟)从椭圆＋＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F1，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且＝λ (λ0)． (1)求该椭圆的离心率； (2)若过右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A1，直线A1B与x轴交于点R(4,0)，求椭圆C的方程． 解：(1)令x＝－c，得y＝， 所以点P的坐标为(－c，