§6.2 二次型化为标准型的三种方法[精选].ppt

§2 二次型化为标准型的三种方法 (2)如果存在，如何求C? 定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。 (1)若aii不全为零,设a11≠0 则上式可写成 配方 它是非退化的,代入后 对y2,y3,…,yn的二次型. 当aii不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2) (2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0, 设a12≠0,则 它是非退化线性的替换,代入后 反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. 因为 x=Cy, |C|≠0 y=Dz,|D|≠0 则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换. 以上做法中,每一步都是非退化线性替换. 因此可以找到一个非退化线性替换化为二 次型为标准形. 定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵. 上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：配方法. 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 . 拉格朗日配方法的步骤 例1 解 含有平方项 去掉配方后多出来的项 所用变换矩阵为 解:配方化简 代入可得标准形为 非退化线性替换矩阵为 　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再 按 1 中方法配方. 解 例3 由于所给二次型中无平方项，所以 再配方，得 所用变换矩阵为