[高考数学复数典型例题附答案.docVIP

1, 已知复数 求k的值。　　解：　　 ， 　　 由 的表示形式得 k=2　　即所求k=2　　点评：　　(i) 对于两个复数 、 ，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此， 、 能够比较大小 ， 均为实数。　　（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，　　对于任意复数z， 且R ；　　 且R 。 若方程 有实根，求实数m的值，并求出此实根。　　解：设 为该方程的实根，将其代入方程得　　 　　 由两复数相等的定义得 ，　　消去m得 ，　　故得 　　当 时得 ，原方程的实根为 ；　　当 时得 ，原方程的实根为 。　　点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。 已知复数z满足 ，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。　　解：设 ，　　 。　　由 得 　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　 对应点在第二象限，故有　　 　　　　　　　　 　　又由得 　　　　　　 　　 由得 ，　　即 ，　　 ，　　 　　　　 　　于是由，得 ，　　 即 　　再注意到a0，故得 　　即所求a的取值范围为 　　点评：为利用 导出关于a的不等式，再次利用式：由式中两复数相等切入，导出关于 与a的关系式： 此为解决这一问题的关键。此外，这里对于 有选择的局部代入以及 与 的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。 求同时满足下列两个条件的所有复数：　　（1） ；　　（2）z的实部与虚部都是整数。　　解：设 ，则　　 　　由题意 ，　　 　　y=0或 　　（）当y=0时， ， ，　　由 得 　　　　　　 　　注意到当x0时， ；　　 当x0时， ，　　此时式无解。　　（）当 时，由 得 　　 　　又这里x，y均为整数　　x=1， 或x=3， ，　　 或 　　于是综合（）（）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. （1）关于x的方程 在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。　　（2）若一元二次方程 有虚根 ，且 ，试判断a，b，c所成数列的特征。　　解：　　（1）　　解法一：　　将 代入方程得 　　由于 ，故有 ，　　 　　解法二：　　注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是 　　由韦达定理得 ，解得 　　 　　（2）解：设 则 为方程的另一虚根。　　 ，　　由 得 　　　　　　　　又由韦达定理得 ，　　由得 ，　　 ，　　即a，b，c成等比数列。 （2004·上海卷）已知复数 满足 ， ，其中i为虚数单位， ，若 ，求a的取值范围。　　分析：从化简 切入，从利用复数的模的公式突破。　　解：由题意得 　　 ，　　又 　　 　　 　　 　　 　　 　　 所求a的取值范围为（1，7）。 ∈R且|z－2|=2的复数z 分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程 解法一：设z=a+bi， 则z+=a+bi+=a+bi+ =a++(b－)i∈R ∴b=∴b=0或a2+b2=1 当b=0时，z=a， ∴|a－2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b≠0时，a2+b2=1 又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4 解得a=，b=，∴z=±i 综上，z=4或z=±i 解法二：∵z+∈R， ∴z+ = + ∴(z－)－=0，(z－)·=0 ∴z=或|z|=1，下同解法一 点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法 8,设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2 （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设u=，求证：u为纯虚数； （3）求ω－u2的最小值 （1）解：设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)， 则ω=a+bi+=(a+)+(b－)i ∵ω是实数，b≠0， ∴a2+b2=1，即|z|=1 ∵ω=2a，－1＜ω＜2， ∴z的实部的取值范围是(－，1) （2）证明：u== = = =－i ∵a∈(－，1)，b≠0， ∴u为纯虚数 （3）解：ω－u2=2a+ =2a+=2a－ =2a－1+ =2［(a+1)+］－3 ∵a∈(－，1)，∴a+1＞0 ∴ω－u2≥2×2－3=1 当a+1=，即a=0时，上式取等号 ∴ω－u2的最小值为1 9, （2009年上海卷理）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数=__________________ . 【答案】i