华工大新生入学考试试卷与解答2010..docVIP

填空题（每小题5分，共10题）1）在三角形，三个内角A、B、C对应的边分别为，已知，则。2），函数关于轴对称，则的取值范围是。3）任意画一个三角形，其任意两个内角之和大于第三个内角的概率为。4）是椭圆的一个焦点，是此椭圆上的点，如果是以为公差的等差数列，是此数列的和，则的最大值为。5）三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为。6）已知函数，则不等式的解集为 。7）已知是抛物线的焦点，点是此抛物线上的点，且有，则。8）圆与直线相交于两点，且与正方向所成的角为（以正方向为始边，逆时针旋转），。9）已知函数，当时，的取值范围是，则的取值为。10）对于二次函数有，且对任给的使得恒成立，则的最小值为。 解答题（本大题共5题，每小题10分）11）数列是正数数列，且对任意正整数有，试证明： 1、当时， 2、当时，证明：1、因为  所以 又因为数列是正数数列，所以数列是递减的，因此 2、由可得当时，假设时有，当时，  综上命题得证。12）如图所示，正四棱锥的体积为，。 1、求侧面与底面所成二面角的大小； 2、若为的中点，求异面直线和所成 角的正切； 3、在侧面上寻找一点使面，试 确定的位置，并加以证明。解：1、设为正方形的中心，是的中点，则为侧面与底面所成二面角。2、因为，所以等于异面直线和所成角。由于，，所以，。3、作的中点，则面。现证明此结论。作的中点，的中点Q，由1、可得是等边三角形，所以，面，由此可得面；又因为，所以面。13）已知双曲线的虚轴长、实轴长和焦距成等差数列，且以轴为右准线，并过定点。试求 1、此双曲线右焦点的轨迹方程；  2、过与的弦与双曲线右支交于，求点的轨迹方程。解：1、设此双曲线的虚轴长、实轴长和焦距分别为，右焦点的坐标为，则有，，由此可得离心率为，又因为轴为右准线，所以，由双曲线定义可得： 所求轨迹方程为： 2、设点的坐标为由双曲线定义可得： 由合比定理得： 所求轨迹方程为： 14）某工厂生产某种产品的固定成本为3.675万元，但每生产100件需要增加可变成本1万元，根据市场调研分析，产品年需求量为500件，销售收入函数为（万元），其中是产品售出数量（单位：百件） 1、把利润表示为年产量的函数； 2、年产量多少时，该厂所得利润最大？ 3、年产量多少时，企业有盈利？解：1、设利润为， 2、 抛物线开口朝下，顶点坐标为 所以当年产量为时，有最大利润万元。 3、解方程可得；解方程可 得。，所以当产量在55台到2382台之间时， 企业有盈利。15）是否存在常数使得等式 对一切自然数都成立。如果你认为不成立，请说明理由；如果你认为成立，请证明它并利用此结论计算。（没有说情理由或证明不得分）解：成立。当时，；当时，；当时，解方程组可得假设时有，当时，   由数学归纳法可得当时，使得等式 对一切自然数都成立。又因为，所以