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关于正项级数收敛性的判别法 On convergence of series with positive terms 摘要 正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。 关键词：级数；正项级数；收敛；发散。 Abstract Determining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, dAlembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series; positive series; convergence; divergence. 目录 摘要 I Abstract II 目录 III 引言 1 1 基础知识 2 1.1 无穷级数的定义 2 1.2 无穷级数的部分和 2 1.3 无穷级数收敛的定义 2 2 正项级数敛散性的常用判别法 3 2.1柯西收敛原理[1] 3 2.2 基本定理 3 2.3比较判别法 3 2.4 达朗贝尔判别法 4 2.5 柯西判别法 4 2.6 积分判别法 5 2.7 阿贝尔判别法 5 2.8 狄利克雷判别法 5 3 正项级数敛散性的一些新的判别法 6 3.1 定理1（比较判别法的推广） 6 3.2 定理2（等价判别法） 6 3.3 定理3（拉贝判别法）[3] 7 3.4 定理4（高斯判别法）[5] 8 3.5 定理5（库默尔判别法）[3] 8 3.6 定理6（对数判别法）[4] 9 3.7 定理7（隔项比值判别法）[3] 10 3.8 定理8（厄尔马可夫判别法）[4] 10 3.9 定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] 10 4 正项级数敛散性判别法的比较 12 5 应用举例 16 6 总结与展望 20 参考文献 21 致谢 22 引言 在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。因此，本文打算对正项级数的各种重要的敛散性判别法及特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。 首先，正项级数作为数项级数的一个重要组成部分，数项级数收敛性的判定方法对正项级数也是适用的，如数项级数收敛性的概念和柯西收敛原理等。其次，正项级数也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，判断选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。 1 基础知识 1.1 无穷级数的定义 一系列无穷多个数写成和式 就称