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[高等代数读书报告
高 等 代 数 读 书 报 告 数学与统计学院 09级 统计三班 李小雪 学号:0505090109 高等代数读书报告 高等代数是数学专业的基础课程,是后续课程学习的必备基础。高等代数主要研究对象是多项式、矩阵、二次型、线性变换、双线性函数线性空间的线性性质,主要内容包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间和双线性函数。主要研究方法有公理化、结构、同构、类比、猜想等思想方法。高等代数中的几种核心的数学思想方法包括符号化的思想方法、矩阵的思想方法、公理化的思想方法和结构的思想方法。 多项式是高等代数中最基本的对象之一。多项式的所有内容都是在数域的基础上讨论的。主要讨论了多项式的整除性、根、可约性及多项式函数。在讨论了多项式的整除性的时候,应用的是函数和方程的思想。多项式函数中的余数定理把整除、根、函数值揉和到了一起。余数定理:用一个多项式x-a去除多项式f(x),所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值f(a)。该定理不仅好在给出了函数值的求法,而且也验证了一个多项式是否能整除多项式的方法,同时也可验证a是(x)的几重根,也可以用于求多项式有无重因式?是什么?把本章的内容,一元多项式,整除的概念,公因式,重因式,多项式函数,复系数,实系数上根式的解全部联系到了一起。 行列式是高等代数中的重要组成部分。是解方程的一个重要工具。本章主要讲了行列式及行列式的性质和计算。排列为行列式的计算做了铺垫。通过奇排列和偶排列的定义,可以分辨出行列式的值在不同排列下的符号问题。行列式性质是行列式计算的基础,而计算是依据根的性质进行的。行列式的性质共有七个:(1)行列互换,行列式的值不变,即行列式转置不变。表明了行列式的行与列的地位是对称的及行列式有关行的性质对于列也同样成立。(2),交换行列式的两行(列),行列式改变符号,特别的如果行列式中有两行(列)相同,则行列式为零。(3)行列式一行的公因子可以提出去特例,如果行列式中有一行为零,那么行列式的值为零。如果行列式中两行(列)的对应元素成比例,那么行列式为零。(4)如果行列式中某一行(列)的元素都是两数之和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,这两个行列式分别以两个家属之一作为该行(列)相应位置上的元素,其余各行(列)都与原行列式相同。(5)把行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一个数后加到另一行(列) 的对应元素上,行列式不变。(6)行列式等于它的任意一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。(7)行列式按某k行(列)展开——拉普拉斯定理;设在n阶行列式中任意取定了k个行(列),则由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们各自的代数余子式乘积的和等于行列式。这七个性质也构成了行列式的计算方法。利用性质,把一个行列式化成上三角形行列式,这是计算行列式的基本方法之一。利用性质四,可以把一个行列式拆成若干个行列式的和,这是计算行列式的常用方法之一。还有许多其他常用的方法,如定义法,递推法,数学归纳法及公式法,降阶法,差分法等。对于爪型行列式,可以按行(列)提取公因子,然后化为上(下)三角形行列式。不常用的还有加边飞,析因法,拆行(列)法,辅助行列式法等。对于更为特殊的,可以用范德蒙德公式的变形及拉普拉斯定理。其中,拆分法用的是分解的思想方法,也可用分析与综合,猜想,构造等思想方法。 第三章主要讲的就是线性方程组的解法。在第二章中利用行列式可以判断线性方程组有没有唯一解。但是无法分辨无解和有无穷多个解的情形。因此本章从研究一般的线性方程组的系数和常数项入手,来判断它有没有解,有多少个解,以及有无穷多个解时,其解集的结构。为了研究线性方程组解集的结构,引入了n维向量空间,及与之相联系的线性相关,线性无关的概念。为了能够引出线性方程组有解判定定理,又引入了矩阵和矩阵的秩的概念。到此,判断一个线性方程组是否有解及解的结构都已经解决。即求线性方程组的解的步骤为(1)利用线性方程组有解判定定理判断方程组是否有解,即线性方程组的系数矩阵与其增广矩阵是否有相同的秩,若不同,则无解,不用再求了,若相同,则继续求解。(2)先求出线性方程组的导出组的基
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