专题六概率与统计..docVIP

专题六 概率与统计 1. (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件．试求： ①第一次取到不合格品的概率； ②在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． (2)对某种抗癌新药的疗效进行试验，假定该药对某种癌症的治愈率为80%，现有10名患者同时服用此药，求其中至少有6人被治愈的概率(精确到0.01)． 解： (1)设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}． ①P(A)＝＝0.05. ②根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率． P(AB)＝×＝， 所以有P(B|A)＝＝＝. (2)记“一病人被治愈”为事件A，则P(A)＝0.8，则至少有6人被治愈的概率为： P＝P10(6)＋P10(7)＋P10(8)＋P10(9)＋P10(10) ＝C×0.86×0.24＋C×0.87×0.23＋C×0.88×0.22＋C×0.89×0.2＋C×0.810 ＝0.97. 2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。 （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率； （Ⅱ）求的分布列及期望。 分析：本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题能力。 解析：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， ． （Ⅱ）的可能取值为元，元，元．， ， ． 的分布列为 （元）． 点评：掌握对立事件的概率和为1，学会用间接法求解概率问题。 3. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门课的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有 选修的课程门数的乘积. （1）记“函数f（x）=x2+·x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率； （2）求的概率分布和数学期望. 解 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z. 依题意得 解得 (1)若函数f(x)=x2+·x为R上的偶函数，则=0. 当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选. ∴P（A）=P（=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z） =0.4×0.5×0.6+(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.24. ∴事件A的概率为0.24. （2）依题意知的取值为0和2，由（1）所求可知 P（=0）=0.24，P（=2）=1-P（=0）=0.76. 则的概率分布为 0 2 P 0.24 0.76 ∴的数学期望为E()=0×0.24+2×0.76=1.52. 4. （2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2) 表示依方案乙所需化验次数,求的期望. 解 （1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则 方案甲中1的概率分布为 1 2 3 4 P 方案乙中2的概率分布为 1 2 3 P 0 若甲化验次数不少于乙化验次数,则 P=P(1=1)×P(2=1)+P(1=2)×［P(2=1)+P(2=2)］+P(1=3)×［P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)］+P(1=4) =0+×（0+）+×（0++）+= =0.72. (2)E()=1×0+2×+3×==2.4. 5. （2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. （1）求的概率分布、期望和方差； （2）若=a +b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 解 （1）的概率分布为 0 1 2 3 4 P ∴E()=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. D()=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-