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韦达定理韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 推广 例题 基本介绍 　　英文名称：Vietas formulas 　　韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。 　　这里讲一元二次方程两根之间的关系。 　　一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a 定理内容 　　　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则　　X1+X2= -b/a 　　X1*X2=c/a 　　用韦达定理判断方程的根 　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，　　若b^2-4ac0 则方程没有实数根 　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 　　若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 证明结论 　　由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）　　可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a　　所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]　　所以X1X2=c/a 　　（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a　　又因为X1.X2的值可以互换，所以则有　　X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】　　所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a韦达定理推广的证明　　设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。 　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理） 　　通过系数对比可得： 　　A（n-1）=-An(∑xi) 　　A（n-2）=An(∑xixi) 　　… 　　A0=[(-1) ]×An×ΠXi 　　所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。一元五次方程验证:　　已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1　　根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。　　把上式展开成：　　-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0　　上述方程可化简成：　　a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+