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费尔马小定理及其应用 费马尔（Fermat）小定理是初等数论中的一个重要定理，数学竞赛中经常需要用到这个定理. Fermat小定理 设为质数，为整数，则特别地，若／，则 设、为正整数，是模的一个完系，可知 ┄，也是模的一个完系（完系的定义见节）.所以，由同余的性质知 即 结合（ 可知结论成立. 说明 尽管当为奇数时，对和式，可以通过“首尾配对”，即将与配对后用因式分解的方法证出，但在为偶数时，这种配对就无效了. 请仔细体会证明中“整体处理”的思想. 下面我们将视角换到Fermat小定理的应用上. 设为正整数.证明：的充要条件是. 证明 若 ， 则 ／， 于是，由Fermat小定理，知 从而，由 ， 知 ， 故 反过来，若 则 ∕， 并且 ， 即 ， 利用小定理知 故 命题获证。 说明 涉及指数的同余式经常需要用到小定理，因为由小定理得出的结论中，同余式的一边是，这带来很大的方便. 由小定理知，对任意奇质数，都有问：是否存在合数，使得成立？ 解 这样的合数存在，而且有无穷多个.其中最小的满足条件的合数（它是从两个不同奇质数作乘积去试算出来的）. 事实上，由于 故 所以 故341符合要求. 进一步，设是一个符合要求的奇合数，则是一个奇合数（这一点利用因式分解可知）。再设为正奇数，则 因此也是一个符合要求的数.依此类推（结合符合要求），可知有无穷多个满足条件的合数. 说明 满足题中的合数称为“伪质数”，如果对任意都有成立，那么合数称为“绝对伪质数”.请读者寻找“绝对伪质数”. 设为质数.证明：存在无穷多个正整数，使得. 证明 如果，那么取为偶数，就有，命题成立. 设，则由Fermat小定理知 因此，对任意正整数，都有 所以，只需证明存在无穷多个正整数，使得 （这样，令就有. 而这只需这样的当然有无穷多个. 所以，命题成立. 说明 用Fermat小定理处理数论中的一些存在性问题有时非常方便、简洁. 设为整数，是的奇质因子，证明： 证明 由于为奇质数，若≡／则，可设，此时，由得 而由小定理，应有 结合上式将导出.矛盾. 所以， 说明 利用此题的结论，我们可以证明：存在无穷多个模余的正整数为质数. 事实上，若只有有限个质数模余，设它们是.考虑数的质因子即可导出矛盾. 求所有的质数，使得是一个完全平方数. 解 设是一个满足条件的质数，则显然是一个奇质数.由小定理知 ， 而 故 或 由于 所以，与中恰有一个成立. 若，则由条件及可知存在正整数， 使得 ， 此时 所以，与都是的冥次，而为奇数，故与是两个相继的偶数，所以，只能是 故 ， 此时 若，则同上知存在正整数，使得 当时，导致 矛盾，故 另一方面，当和时，分别为和，都是完全平方数. 综上可知或.