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(几何选修
1.(拓展深化)如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点P,CD=10 cm,AP∶PB=1∶5,求⊙O的半径. 【答案】3 cm 【解析】 解 法一 连接OC,设AP=k cm,PB=5k (k0) cm, 因为AB为⊙O直径,所以半径OC=AB= (AP+PB)=(k+5k)=3k,且OP=OA-PA=3k-k=2k. 因为AB垂直CD于P, 所以CP=CD=5 cm. 在Rt△COP中, 由勾股定理, 得OC2=PC2+PO2, 所以(3k)2=52+(2k)2, 即5k2=25,所以k=. 所以半径OC=3k=3 (cm). 法二 设AP=k,PB=5k, 由相交弦定理: CP·PD=AP·PB, 即2=k·5k. ∴k=, ∴==3, 即⊙O的半径为3 cm. 2.如图,、、是圆上三点,是的角平分线,交圆于,过作圆的切线交的 延长线于. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)利用弦切角等于同弧所对的圆周角,角平分线线的性质求解;(Ⅱ)证明,的对应边成比例,再证,代换即得. 试题解析:(Ⅰ)是圆的切线,, 又,为弦所对的圆周角,, 而是的角平分线,, . (5分) (Ⅱ),, , , 又, , , 故有. (10分) 考点:圆的切线的性质,相似三角形. 3.如图,、、是圆上三点,是的角平分线,交圆于,过作圆的切线交的 延长线于. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)利用弦切角等于同弧所对的圆周角,角平分线线的性质求解;(Ⅱ)证明,的对应边成比例,再证,代换即得. 试题解析:(Ⅰ)是圆的切线,, 又,为弦所对的圆周角,, 而是的角平分线,, . (5分) (Ⅱ),, , , 又, , , 故有. (10分) 考点:圆的切线的性质,相似三角形. 4.如图,是的直径,弦与垂直,并与相交于点,点为弦上异于点的任意一点,连结、并延长交于点、. ⑴ 求证:、、、四点共圆; ⑵ 求证:. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)通过证明,证明四点共圆;(2)借助三角形相似和直角三角形的射影原理进行证明. 试题解析:(1)连结,则,又, 则,即, 则、、、四点共圆. (5分) (2)由直角三角形的射影原理可知, 由与相似可知:, ,, 则,即. (10分) 考点:1.四点共圆的证明;2.圆中三角形相似.是圆内接四边形,延长与的延长线交于点,且, . (1)求证:; (2)当时,求的长. 【答案】(Ⅰ) 证明∽,则.由,所以. (4分) 结合,得到 (Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 因为四边形为圆的内接四边形,所以 (1分) 又所以∽,则. (3分) 而,所以. (4分) 又,从而 (5分) (Ⅱ)由条件得 . (6分) 设,根据割线定理得 ,即 所以,解得 ,即. (10分) 考点:本题主要考查圆的性质,三角形全等及相似,切割线定理。 点评:中档题,选考内容,难度一般不大。处理圆中的问题时,要注意挖掘相等的角,发现三角形的全等或相似关系。 16.如图,AB、CD是⊙O的两条平行切线,B、D为切点,AC为⊙O的切线,切点为E.过A作AF⊥CD,F为垂足. (1)求证:四边形ABDF是矩形; (2)若AB=4,CD=9,求⊙O的半径. 【答案】(1)连结OB,并作BO的延长线,推出OB⊥AB;根据AB∥CD, 推出BD为⊙O直径,又∵AF⊥CD,∴四边形ABDF是矩形。 (2)⊙O的半径长为6 。 【解析】 试题分析:(1)连结OB,并作BO的延长线, ∵AB切⊙O于B,∴OB⊥AB ∵AB∥CD,∴BO⊥CD,∴BO经过D点 ∴BD为⊙O直径 又∵AF⊥CD,∴四边形ABDF是矩形 5分 (2)在RtΔACF中, 由切线长定理得 AB=AE, CE=CD ∴AC=AE+CE=AB+CD=13,CF=CD-DF=CD-AB=5 ∴AF=,从而OB=6 即⊙O的半径长为6 10分 考点: 本题主要考查圆的几何性质,切线长定理,弦切角定理。 点评:中档题,作为选考内容,题目
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