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关于模型名称与模型中参数确定的几个问题 章栋恩 1. 模型的称呼问题。 马尔萨斯（英国人口学家，1766-1834）模型应该是指特定的人口模型，即（相对）增长率为常数的指数模型：设P为群体数量，t为时间，则模型为 对于像流浪狗等生物群体的数量模型，如果采用指数增长模型，就称呼该模型为指数模型就可以了，不要再称为马尔萨斯模型。 顺便说说，也有书称马尔萨斯是牧师，政治哲学家。我曾经读过的一本“随机过程”书，马尔萨斯在“生灭过程”等方面有很多贡献，因此称他为数学家或统计学家也不过分。 2. 逻辑斯谛模型 逻辑斯谛模型可以应用于生物群体增长，也可以用于其他方面。比如一个电影大片的票房收入也经常用逻辑斯谛模型。上次大型作业题，有一个队做了Google G-mail 信箱问题，他们使用这个模型也是可以的。当时我与他们讨论过机理上是否可以，其实也是能说得通的。 在仔细研究了逻辑斯谛曲线的一阶、二阶导数以后，可以用于预测逻辑斯谛模型的最大承载量（设这个参数为L）。因为逻辑斯谛曲线在L/2处的二阶导数为零，一阶导数达到最大。所以某当群体数量的数据（依时间列出）出来以后，通过差商计算得到的估计,把达到最大值时的群体数量乘以2，就是最大承载量L的一个估计值。 说说逻辑斯谛这一名称。Logistic 一词来源于Log 和it. 是由这两个单词合并、发展而来的。这是张尧庭老师在一次讲课中或者是在一个教学录像中说的（我有点记不清了）。 3. 捕食者-被捕食者模型 指数模型与逻辑斯谛模型中参数的估计问题，我在曲线拟合一讲中已经分别讲了。但那时现在有了计算机和数学软件以后采用的而且比较精确的估计方法（如非线性拟合方法）。在1-2百年前，刚刚提出这些模型的时候，统计学家是不可能用这些方法进行参数估计的。而且一个比较重要的问题是，对于捕食者-被捕食者（prey-predators）模型中的参数怎么估计？我将在这里逐步给出回答。 首先说明一下，指数模型，逻辑斯谛模型和捕食者-被捕食者模型都是参加MCM的学生应该掌握的模型。理由有两个：一个是美国微积分教科书中微分方程一章有这样的内容与习题。有的书上还提到共生、竞争模型（在国内的高考生物考试题中，有给出数据，判别谁是捕食者，谁是被捕食者的选择题；也有给出一组曲线，判别是什么模型的）。另一个理由是2009MCM竞赛B题—能源与手机—问题的阅卷人评语中提到了学生用捕食者-被捕食者模型来研究固定电话与手机的数量关系是好的。 我们这次的竞赛题—宠物狗与流浪狗—问题，也在于把这方面知识作为大家要掌握的一个内容来练习。 4. 参数估计问题 要估计捕食者-被捕食者模型的参数，需要从数据能提供什么说起。 如果有了美国从1790年到1940年（每隔10年做一次人口普查）的人口数据（数据表略，大家可以自己找找），用近似，则可以得到美国人口相对增长率的估算值。比如用 得到1830年的美国人口相对增长率。其他各个时间点也类似这么计算，可得 年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 相对增长率 3.59% 3.58% 3.33% 3.44% 3.26% 3.57% 3.53% 因为观察到相对增长率接近常数，因此在这里可以使用指数模型。即对于指数模型，为常数k。而对于逻辑斯谛模型是P的线性函数。有了数据，可以对与P作散点图，看看是否呈现线性关系而决定是否采用逻辑斯谛模型。从而可以用线性回归方法确定逻辑斯谛模型中的参数。这就是统计学家先前采用的方法。 上面这种差商近似类似于右导数，也还有另外两种差商计算办法。其中对称导数的计算方法精度高一些。 计算差商麻烦吗？Matlab有计算差分的命令：diff( )。大家可以通过查询（help diff）的方法，学习使用它。我后面的程序中有使用它的格式。 作为思考，请注意逻辑斯谛模型中参数有什么关系？ 5. 逻辑斯谛模型参数估计 上面的参数估计方法能推广到捕食者—被捕食者模型中吗？看看捕食者—被捕食者模型的数学式子 ，其中是参数。具体的问题中还有初始条件。 它的等价形式是 居然根据数据可以得到方程左端的估计，数据x, y是直接就有的。那么和分别就是线性关系式中参数罢了。线性回归就可以把它们估计出来。在数学方法上是没有问题的。比较担心的是用近似是否不够精确，影响到方法的有效性。 6. 实验验证参数估计方法 为了验证方法的正确性，先从捕食者—被捕食者方程组出发，得到数据，再估计参数，看看得到的参数与原方程组中的参数是否一致。用教科书中野狼和兔子的关系为例 设微分方程组是：（其中W是狼，R是兔子） 即 用