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第三章 导数的应用 教学目标：理解罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并弄清三个定理之间的关系。 会用三个定理证明相应的命题，求解相应的问题。 教学重难点：理解罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。 主要内容: 罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理 教学过程： 导数在自然科学和工程技术上都有着及其广泛的应用，在建立了导数的概念之后，本章将介绍中值定理、利用导数求极限的方法——罗比塔法则、利用导数判断函数的单调区间、凸凹区间及求一元函数极值和函数作图的方法，来解决一些有关的实际应用问题. §3.1 微分中值定理 一 罗尔定理 定理 若函数f(x) 满足条件： （1）f(x) 在 [a,b] 上连续；（2）f(x) 在（a,b）内可导， （3）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f′ ()=0. 证明 由条件（1）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况： 其一，M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m，＝0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f()＝0. 其二，M＞m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值.下面来证明：f()=0 首先由条件（2）知f()是存在的，由定义知： f()= (1) 因为为最大值，对有 f(x) Mf(x)－M0, 当x时，有0 当x时，有 0. 又因为式（1）的极限存在，即左、右极限都存在，且都等于，即 ， 然而，又有 和 . 注意： 1.定理中的三个条件缺一不可，否则定理未必成立，即指定理中的条件是充分的而非必要的. 2.罗尔定理中的点不一定唯一.事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数在点处取得最大值或最小值，则有. 3.定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等， 且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的切线，到弧 上至少有一点处的切线平行于轴.（图3.1） 二 拉格朗日中值定理 定理 若函数满足条件： (1)在上连续； (2)在上可导；则在内至少存在一点，使得 成立. 此时，如果有， 则：.可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，下面用罗尔中值定理来证明. 证明：上式又可写为 作一个辅助函数： 显然，在上连续，在上可导，且 ， 所以由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得 . 又 即：. 注意 1.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广； 2.定理中的结论，可以写成，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成： 若令 3：若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为： 也可写成 可见，不论哪个大，其拉格朗日公式总是一样的.这时，为介于之间的一个数，式中的不论正负，只要满足条件都是成立的. 4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理为微分中值定理的核心. 5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线.（图3.2） 由定理还可得到下列结论：如果在区间上的导数恒为0，则在 上是一个常数. 证明 在中任取一点，然后再取一个异于的任一点， 在以，为端点的区间[，]上，满足：(i)连续； (ii)可导；从而在（，）内部存在一点，使得 又在上，，从而在（，）上，， ， 所以 ， 可见，在上的每一点都有：=C. 三 柯西中值定理 定理 若满足： (1) 在上连续；(2) 在内可导； (3) 在内恒不为0； (4) ； 则在内至少存在一点，使得 . 证明 令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有 ，事实上， 所以满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又 因为， 注意 1.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得