【工程數学】形成性考核册作业答案2.docVIP

工程数学作业（第二次）(满分100分) 第3章 线性方程组 （一）单项选择题(每小题2分，共16分) ⒈用消元法得的解为（C　）． A. B. C. D. ⒉线性方程组（B　）． A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 ⒊向量组的秩为（　A）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 ⒋设向量组为，则（B　）是极大无关组． A. B. C. D. ⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）． A. 秩秩 B. 秩秩 C. 秩秩 D. 秩秩 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A　）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D　）． A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组线性相关，则向量组内（A　）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9．设A，Ｂ为阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（　　）成立． Ａ．是AB的特征值 Ｂ．是A+B的特征值 Ｃ．是A－B的特征值 Ｄ．是A+B的属于的特征向量 10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（Ｃ　）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ． （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当 １ 时，齐次线性方程组有非零解． ⒉向量组线性 相关 ． ⒊向量组的秩是 ３ ． ⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的． ⒌向量组的极大线性无关组是． ⒍向量组的秩与矩阵的秩 相同 ． ⒎设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为． 9．若是Ａ的特征值，则是方程　　的根． 　10．若矩阵Ａ满足　，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组 解：　　方程组解为 ２．设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解? 解：］ 当且时，，方程组有唯一解 当时，，方程组有无穷多解 ３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中 解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解 这里　 方程组无解 不能由向量线性表出 ４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 解： 该向量组线性相关 ５．求齐次线性方程组 的一个基础解系． 解： 方程组的一般解为　　令，得基础解系　 ６．求下列线性方程组的全部解． 解：　　方程组一般解为 令，，这里，为任意常数，得方程组通解 ７．试证：任一４维向量都可由向量组 ，，， 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式． 证明：　　　 任一４维向量可唯一表示为 　　 ⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解． 证明：设为含个未知量的线性方程组 　　　该方程组有解，即 从而有唯一解当且仅当 而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解 9．设是可逆矩阵Ａ的特征值，且，试证：是矩阵的特征值． 证明：是可逆矩阵Ａ的特征值 　　　 存在向量，使 即是矩阵的特征值 10．用配方法将二次型化为标准型． 解： 　令，，， 即 则将二次型化为标准型　 5