zt9專题九_关于Gamma函数与Beta函数的关系及应用.docVIP

专题九 关于函数与函数的关系及应用 问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？ 答： 欧拉函数是函数与函数 的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别称为函数与函数。即： (1) (2) (1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，函数与函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题2：函数与函数的定义域是什么？ 答：（一）、函数的定义域：的定义域为. 事实上，（1）当时，不是被积函数的瑕点，因此取都有，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当时，是被积函数的瑕点，此时，有 == 其中对任何s都是收敛的， 又，所以与 在点是等价的，当时，是收敛，当时，是发散．所以当时是收敛的． 综上可知的定义域为. （二）、函数的定义域：。 事实上，== 而，在各自的区间内只有一个瑕点。又 ∴ 在，与等价，∴ 当时，收敛， 所以时， 在收敛． 同理时，在时收敛． 综上可知当且时 收敛，所以的定义域为且。 问题3：函数有些什么性质？ 答：函数具有如下性质： （1）函数的连续性 在（0，+）上连续，由=,只证与在（0，+）内连续即可．在任意闭区间 ()上对于函数当有由于收敛由附录中的定理5，知)在 上一致收敛，对于当时有在 上连续，所以在连续，所以在 上一致收敛，所以在（0，+）上内闭一致收敛， 由附录中的定理2，知在（0，+）上连续． （2）函数的的可微性 首先考虑积分在任何闭区间()上一致收敛．考虑积分 = +． 当 ()而积分收敛,故积分当时一致收敛． 同样，当时， ()故当 时一致收敛．因此积分当时一致收敛．由此可知在上具有连续的导函数且可在积分下求导 = (3) 由的任意性,可知在上连续且（3）式对一切皆成立. 类似的数学归纳法可知，对任何正整数在上都存在且可在积分号下求导数， 得 = ()． (3) 递推公式 由此可知,任意,如果(其中是非负整数)即有 (4) 特别地当为正整数时可写成=. (4) 极值与凸性 因为对一切，=0，0 因此 的图形位于轴上方且凸的． 又因为 =1，=1，所以，。 因此在上有唯一的一个极小值点落在之间． 问题4：函数还有其它的形式吗？ 答：函数的其他形式： 在（1）式中，令，则有 （，） (6) 在（1）式中，令，则有=。 问题5：函数有些什么性质？ 答：函数具有如下性质： （1）函数的连续性 事实上，对任何，有≦，而收敛，所以由附录中的定理5，在， 上一致连续，故而在×内连续． （2）函数的可微性 在×内可微且存在任意阶连续偏导数． 考虑积分 当，时，恒有 ，（） 而收敛，故积分当，时一致收敛．因此当，时可在积分下求导，得 并且是，上的连续函数． 同理 是域上的二元函数，且当可在积分下求导得 。 完全类似地用数学归纳法可证在域上存在连续偏导数，且=。 （3）函数的对称性 （4）递推公式 =（） （） （当时） 由对称性可证 特别对正整数，。 问题6：函数还有其它的形式吗？ 答：函数的其他形式： （令） （） 进而将此积分拆成，两段积分，后者作变换，仍把写成，则有 。 问题7：函数与函数有怎样的关系？ 答：函数与函数有下面的关系： （1） 事实上，当时，由（6）有，，从而 ， 故有， 。 （2）（余元公式） （3）（倍元公式） ﹙﹚ 问题8：能否举一些函数与函数应用的例子？ 答： 下面是几个关于函数与函数应用的例子： （1）用余元公式计算的值： 解： 。 （2）求﹙＜＜﹚。 解：由公式，令，则 ，， 令，则， 令， （3）函数在积分不等式中的应用： 例1 已知，正整数，证明：. 证明： . 例2 求. 解： 令 ， 则由于对一切自然数，有＜，又，故 ，即，而，由夹逼原则， 可知，所以 . 思考题： 一、你能否用复变函数的知识证明余元公式？ 二、你能否证明倍元公式吗？ 三、你能否再举一些Euler公式的应用？ 思考题的一些提示： 一、余元公式的证明。 证：令，则. 下面用复变函数有关知识给出证明 构造函数为辅助函数，为其奇点，且该函数又以（可去奇点）奇点 取正实轴为支割线如图。由残数定理 又 （*） 而上式左边有（1）= ∴. （2）∵，