复变函数的积分[精选].pptVIP

第3章 复变函数的积分 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 本章基本内容: 重点内容: 3.1 复变函数的积分 3.1.1 复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： 定义3.1.1 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线 是开口弧段，若规定它的端点 为起点， 为终点，则沿曲线 从 到 的方向为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲线记为 或 . 而由 到 的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为 . (2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向． (3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向． 定义3.1.2 复变函数的积分 设函数 在给定的光滑或逐段光滑曲线 上有定义，且 是以 为起点， 为终点的一条有向曲线，如图3.1所示．把 曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段 上任意取一点 ，并作和 其中 ，记 的最大长度为 则当n无限增大，且 时，如果无论对L的分法及 的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作 ，即 我们称之为复变函数的积分，简称复积分． 定义3.1.3 闭合环路积分 当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为， 并称为复变函数 的闭合环路积分（简称环路积分）. 为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向, 若沿逆时针方向积分，可用环路积分 表示. 若沿顺时针方向积分，可用 表示. 由此可知，当 ，且小弧段长度的最大值 时，不论对L的分法如何，点 的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于 连续，则 都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 (3.1.3) 即我们可以把复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把 理解为 ，则 上式说明了两个问题： (1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算. 3.1.3 复积分的基本性质 (1)若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则